Agrégats sémantiquement cohérents issus d'un grand graphe de terrain

Pages: 20 (4828 mots) Publié le: 15 septembre 2014
Evaluation rapide du diamètre d’un graphe
Christian Belbeze∗,∗∗ , Max Chevalier∗,∗∗∗
Chantal Soule-Dupuy∗,∗∗


∗∗

Institut de Recherche en Informatique de Toulouse
Université Toulouse 1 Capitole, 2 rue du Doyen Gabriel Marty, 31042 Toulouse Cedex 9
∗∗∗
Université Paul Sabatier, 118 Route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 9
christian@belbeze.com, chevalier@irit.fr, soule@irit.frRésumé. Lors de l’analyse de graphes, il est important de connaître leurs propriétés afin de pouvoir par exemple identifier leur structure et les comparer.
Une des caractérisations importante de ces graphes repose sur le fait de déterminer s’il s’agit ou non d’un "petit monde". Pour ce faire, la valeur du diamètre du graphe est essentielle. Or la mesure du diamètre est pour un très grand
graphe, uneopération extrêmement longue. Nous proposons un algorithme en
deux phases qui permet d’obtenir rapidement une estimation du diamètre d’un
graphe avec une proportion d’erreur faible. En réduisant cet algorithme à une
seule phase et en acceptant une marge d’erreur plus élevée, nous obtenons une
estimation très rapide du diamètre. Nous testons cet algorithme sur deux grands
graphes de terrain (plusd’un million de nœuds) et comparons ses performances
avec celles d’un algorithme de référence BFS (Breadth-First Search). Les résultats obtenus sont décrits et commentés.

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Introduction

Depuis quelques années, la recherche sur les grands graphes a soulevé de plus en plus
d’intérêt. Quelle que soit la nature des réseaux représentés, il est indéniable que le nombre
d’éléments (noeuds etliaisons) les constituant et pris en compte dans leurs études n’a cessé
d’augmenter. L’identification de communautés dans les réseaux sociaux est un de ces domaines
d’étude sur lequel nous nous sommes focalisés dans nos travaux et qui nous a amené à étudier
les caractéristiques des graphes sous-jacents à ces réseaux (Belbeze et al., 2009).
Bien que de nature différente, les réseaux de "grandetaille" en général (réseaux d’ordinateurs, réseaux sociaux, réseaux de mots, pages Web reliées par des hyperliens et autres réseaux
d’échange), ont des caractéristiques qui comportent un grand nombre de similitudes. Ces similitudes ont permis de créer un type de graphe nommé "Grand graphe de terrain". Par définition,
ces graphes venus du monde réel ne sont donc pas issus d’une formulemathématique. Ils
existent sur le terrain et les noeuds se doivent d’avoir une existence physique. La phrase de
Watts et Al. en 1998 (Watts et Strogatz, 1998) "la plupart des graphes de terrain ont des propriétés non-triviales en commun" peut être considérée comme la consécration de leur domaine
d’étude. Parmi ces propriétés "non-triviales en commun", la valeur du diamètre d’un graphe

Evaluation rapidedu diamètre d’un graphe

est essentielle. Le diamètre est défini comme la distance la plus élevée entre deux noeuds en
utilisant le chemin le plus direct. Il est l’élément qui permet de classer un graphe en "petit
monde". Les grands graphes de terrain et les graphes générés aléatoirement sont généralement
de type petit monde et présentent un diamètre faible au regard du nombre de noeuds. Ilreste
cependant important de pouvoir valider cette caractéristique pour s’assurer que le graphe étudié ne fait pas exception à la règle. Toutefois, le coût en temps CPU d’un calcul exact avec les
algorithmes classiques est prohibitif sur des réseaux de plusieurs millions de noeuds.
Dans cet article, nous présentons un algorithme spécifique permettant d’obtenir une évaluation rapide du diamètred’un graphe et cela indépendamment de sa complexité. Nous appliquerons cet algorithme à quatre familles de graphes générés aléatoirement et à deux exemples de
grands graphes de terrain contenant plus d’un millions de noeuds. Nous comparons les résultats obtenus avec le diamètre retourné par un algorithme exhaustif de type BFS (Breadth-First
Search) (Najork, 2001) recherchant les noeuds les...
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