PELERIN Pierre SAUSSE Matthieu

Cours électif transversal n°44 Automatique : Dynamique et contrôle des systèmes

Rapport de cours : Le pendule inversé

Introduction
Cette étude vise à montrer d’un point de vue pédagogique les bases de l’automatisme, grâce à un problème de pendule inversé. Ce système permettra de mettre en évidence que les hypothèses de linéarité utilisées permettent toutefois de trouver un résultat satisfaisant au problème. Afin de détailler plus en détail le problème, nous commencerons par modéliser un pendule simple, à l’aide de simulation sur Matlab. Nous utiliserons ensuite ce même logiciel pour étudier le fameux pendule inversé équipé d’un correcteur linéaire. Nous tenterons ensuite d’affirmer la robustesse du problème en prenant de nouveaux paramètres de masse et de longueur. Ce dernier point nous permettra de souligner le caractère transposable des systèmes asservis.

I.

Modélisation d’un pendule simple

A. Présentation
On considère alors un pendule simple soumis à son propre poids comme présenté sur la figure 1 On applique un couple c(t) en entrée sur le pendule modélisé en figure 1 et on prend comme sortie la distance y(t) entre la masse m et l’axe vertical. On considère que le pendule est libre, c'est-à-dire qu’il n’y pas de couple appliqué et qu’aucune force n’est appliquée sur le point de fixation du pendule. On obtient les équations d’état suivantes : Ce problème n’est pas linéaire et entraîne des équations fastidieuses. Il nous faut donc passer par un logiciel comme Matlab pour le résoudre. On considère le système non linéaire suivant : que u est nul : . donc en considérant

Figure 1 : Pendule simple

On adopte alors la méthode d’Euler pour résoudre une équation non linéaire pour trouver une solution acceptable : .

2

Avec Matlab, on obtient alors : clear l=2 ; %Longueur du pendule g=9.81 ; %Accélération de la pesanteur m=1 ; %Masse du pendule k=0.5 ; %Coefficient de frottement % dt=0.01 ; %Pas de temps t=0