Calcul stochastique

Pages: 73 (18229 mots) Publié le: 5 juin 2012
MAT 5501
Eléments de calcul stochastique et applications à la finance

Randal D OUC

Avertissement
Ce cours reprend la majeure partie de la structure du livre "Calcul Stochastique appliqué à la finance" de Lamberton et Lapeyre. Nous l’avons enrichi de divers points de vue adoptés ici et là, notamment dans les notes de cours de Romuald Elie, Nicole El Karoui, Emmanuel Gobet... Il a bénéficiéd’une relecture active de Cyrille Dubarry. N’hésitez pas à communiquer par mail les erreurs qu’il pourrait rester ainsi qu’à proposer toute sorte de suggestions visant à améliorer le contenu de ce cours : randal.douc@it-sudparis.eu

Table des matières
1 Modèles discrets 1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . 1.2 Formalisme des modèles discrets . . . . . . 1.3 Probabilité risque-neutre .. . . . . . . . . 1.4 Calcul de la prime d’une option européenne 1.5 Points essentiels du chapitre . . . . . . . . 1.6 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . 1.A Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.A.1 Preuve du Lemme 1.2.3 . . . . . . 1.A.2 Preuve du Théorème 1.3.2 . . . . . 7 7 8 10 11 11 11 12 12 12 15 15 16 17 17 19 19 20 21 21 22 22 22 23 23 24 24 25 25 25 26 26 27 29 31 3435 36

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Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 2.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Absence d’Opportunité d’arbitrage . . . . . . . . . . . . 2.3 Formule deBlack Scholes par l’approximation par arbres 2.4 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arrêt optimal et options américaines 3.1 Enveloppe de Snell et Pricing d’une option américaine 3.2 Le problème de l’arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . 3.3 Approche duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Couverture et exercice pour les options américaines . . 3.4.1Couverture de l’option américaine . . . . . . . 3.4.2 Exercice de l’option américaine . . . . . . . . 3.5 Options américaines et européennes . . . . . . . . . . 3.6 Points essentiels du chapitre . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.A Preuve du Théorème 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 3.B Preuve de Théorème 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . .Mouvement brownien et intégrales stochastiques 4.1 Généralités sur les processus à temps continu . . . 4.1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . 4.2 Quelques résultats sur les temps d’arrêt . . . . . . 4.3 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Martingale à temps continu . . . . . . . . . . . . . 4.5 Intégrale stochastique et Calcul d’Itô . . . . . . . . 4.5.1 Calcul d’Ito . . .. . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Formule d’Itô multidimensionnelle . . . . 4.6 Equations différentielles stochastiques . . . . . . . 4.7 Changement de probabilité. Théorème de Girsanov 3

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