Choomage chez les jeunes diplomes

Pages: 94 (23419 mots) Publié le: 13 mars 2011
Notions Fondamentales d'analyse

Par

Mohamed Bekkali, bekka@menara.ma

" If you do not see why mathematics are beautiful, nobody else will tell you" Paul E.

"A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas" G. H. Hardy

5cience 7nites 0umans 7niformly .ree

Table des matières1 Introduction
1.0.1 1.0.2 1.0.3 1.0.4 1.0.5 1.0.6 1.0.7 1.0.8 C'est quoi l'analyse ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C'est quoi une preuve ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes des preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2 2 3 3 3 4 4 5

Preuveindirecte (ou par contradiction) . . . . . . . . . . . Contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de l'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Concepts logiques et vocabulaire ensembliste
2.0.9 2.0.10 2.0.11 2.0.12 2.0.13 2.0.14 2.0.15 2.0.16 2.0.17 2.0.18 2.0.19 2.0.20 Conceptslogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7 7 8 9 9 9 9 12 12 13 13 14

"subsititution" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " il existe x, " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ."Pour tout" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " Preuve" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocabulaire ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'ordre . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 L'induction
3.0.21 3.0.22 Théorème (Bon ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d'Induction (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

15
15 15

Bekkali
3.0.23

Notions fondamentales d'analyse

SUHUF
17

Principe d'InductionFort (PIF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Ensembles dénombrables
4.0.24 4.0.25 4.0.26 4.0.27 Ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles innis dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe des tiroirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20 21 23 24

| N × N |=| N |= ℵ0 .

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

5

Représentations décimales
5.0.28 5.0.29 Algorithme de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . Représentation décimale des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
30 30

6 Suites : Une introduction
6.0.30 6.0.31 6.0.32 6.0.33 6.0.34 6.0.35 6.0.36

Motivation

36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 36 36 37 37 37 40 43

Dénition non formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diérents types de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points importants attachés à une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . Classication des suites : monotone, Ramsey, Cauchy et autres . . .Limite supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Notions de la topologie générale sur la droite réelle R
7.0.37 7.0.38 7.0.39 7.0.40 Ouverts, fermés et voisinages dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème (Borel-Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points particuliers de la droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de...
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