Programmation linéaire.

Sommaire : Définition, recherche d’un bénéfice maximal, recherche d’un coût minimal.

Pré requis : Régionnement du plan.

Remarque : Dans tout ce qui suit, on se place dans le repère .

1. Définition.

La programmation linéaire est une méthode permettant d’optimiser, c'est-à-dire rendre le plus grand ou le plus petit possible, une fonction linéaire à deux inconnues x et y, cela sous certaines contraintes définies par des inégalités.

Les exemples habituels d’optimisation sont la recherche d’un bénéfice maximal ou d’un coût minimal.

Remarque : C’est grâce à cette méthode que les problèmes de ravitaillement étaient résolus pendant la seconde guerre mondiale.

2. Méthode à partir d’un exemple : recherche d’un bénéfice maximal.

Un artisan fabrique des tables en chêne et en hêtre. On a les contraintes suivantes : • (C1) : La fabrication d’une table en hêtre dure 2 heures et nécessite 2 m3 de bois. • (C2) : La fabrication d’une table en chêne dure 3 heures et nécessite 1 m3 de bois. • (C3) : L’artisan ne travaille pas plus de 36 heures par semaine, et ne peut entreposer plus de 24 m3 de bois. • (C4) : L’artisan fait un bénéfice de 30 euros par table en chêne et 40 euros par table en hêtre.

L’idée est de déterminer le nombre de tables de chaque type réalisant le bénéfice maximal.

Etape 1 : On construit le polygone des contraintes.
Pour cela on traduit les contraintes par des inéquations puis comme dans la fiche
« Régionnement du plan », on détermine la partie du plan associée aux inéquations.

On note y le nombre de tables en chêne et x le nombre de tables en hêtre
Les contraintes impliquent que : • 2x + 3y ( 36 car l’artisan ne travaille pas plus de 36 heures et la fabrication d’une table en hêtre dure 2 heures et celle d’une table en chêne dure 3 heures. • 2x + y ( 24 car l’artisan ne peut entreposer plus de 24 m3 de bois et la fabrication d’une table en hêtre nécessite 2 m3