Compte rendu du BE 2
Éléments finis
Marc BUFFAT
5 février 2007

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Introduction

On étudie l’écoulement autour d’un obstacle carré de coté 2h = 0.5, situé au milieu d’un canal de section 4H = 2 et de longueur 10H = 5. La vitesse en entrée est égale à U0 = 1, la masse volumique du fluide est égale à ρ0 = 1 et la pression thermodynamique moyenne est constante et égale à P0
On considère l’écoulement comme stationnaire, incompressible, non visqueux et irrotationnel. C’est donc un écoulement potentiel.

2

Modélisation

Avec les hypothèses précédentes, l’écoulement peut être décrit par la fonction de courant ψ(x, y) solution de l’équation de Laplace (1)
∂
∂x

∂ψ
∂
+
∂x
∂y

∂ψ
∂y

=0

(1)

associée aux conditions aux limites suivantes : ψ = 0 sur l’obstacle, ψ = U0 y sur la frontière externe

(2)

Le champ de vitesse (U,V ) est alors calculé en fonction de ψ par les relations
∂ψ
U = ∂ψ
∂y , V = − ∂x , et l’écart de pression Pr par rapport à P0 est calculé à partir de la relation de Bernouilli :
1
1 ρ0 (U 2 +V 2 ) + Pr = ρ0U02
2
2
L’écoulement possède une symétrie par rapport à l’axe horizontale et vertical passant par le centre du carré, puisque le domaine et les conditions aux limites possèdent cette symétrie.
1

A l’avant (et à l’arrière) de l’obstacle, on doit observer un point d’arrêt avec une surpression égale à Pr = 12 ρ0U02 = 0.5 Pa. Au droit de l’obstacle, l’écoulement est accéléré, puisque que la section diminuant, la vitesse doit augmenté par conservation du débit. L’ordre de grandeur de la survitesse Us dans cette section est fournit par
4H
la conservation du débit Us = 4H−2h
U0 = 1.333. Cette survitesse est associée à une
1
2
2
dépression égale à Pr = 2 ρ0 (U0 −Us )
La structure de l’écoulement dépend uniquement du rapport h/H , puique U0 est un facteur multiplicatif.

2.1

Formulation éléments finis

D’après le cours [1], la formulation faible du problème (1) s’écrit :
Trouvez ψ vérifiant les C.L. (2) t.q.
Z

∇Ψ∇δψ = 0 ∀δψ licite i.e. ψΓ = 0

(3)

Ω

La