Contrôle Terminale ES2

Exercice 1
La courbe ci-dessous est la courbe représentative notée Cf d’une fonction f définie sur .
Les droites D et  sont les asymptotes à Cf respectivement en et en .

À partir du graphique et des renseignements fournis : Donner une équation des droites  et D. Quelles sont les limites de f en et en ? Quelle est la limite en de f(x) + x - 2 ?

Exercice 2
La courbe (Cu), ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur  dans un repère orthonormé du plan, telle que .

À partir du graphique et des renseignements fournis : Déterminer et . Soit f la fonction définie sur par . Déterminer, en justifiant avec soin, et .
Exercice 3
Soit la fonction définie sur Df = r\{1} par f(x) = et sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1) Déterminer les limites de aux bornes de . En déduire d'éventuelles asymptotes horizontale ou verticale à .
2) Vérifier que peut s'écrire sous la forme : si x  1, f(x) = -x + 4 + . Déduire de cette écriture l'existence d'une asymptote oblique en + et en -.
3) Etudier la position relative de par rapport à son asymptote oblique.
4) Tracer les asymptotes à C dans un repère orthonormé d'unités 0,5 cm, puis tracer C.

Exercice 4
Soit f la fonction définie sur  par . On note Cf sa courbe représentative dans un repère.
1) Étudier la limite de f en et en .
2) On note la dérivée de la fonction f. a) Calculer . b) Étudier le signe de. c) Dresser le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs arrondies au dixième des extremums de f obtenues à l’aide de la calculatrice.)
3) a) Montrer que l’équation f(x) = 7, admet une solution unique . b) Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie de  au centième près.

Exercice 5
En 1800, l'Angleterre comptait 8 millions d'habitants.
L'économiste anglais Malthus avait émis l'hypothèse suivante:
 La population de l'Angleterre suit une progression