| Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil ait l'allure de la courbe |[pic] |
|ci-après : | |
|Le plan est muni d'un repère orthonormé. | |
|On pourra prendre 3 cm pour unité graphique. | |
|L'objet de l'exercice est de modéliser ce profil à l'aide de la courbe représentative C d'une fonction définie sur | |
|l'intervalle [0 ; 3] vérifiant les conditions suivantes : | |

(1) la courbe C passe par les points A(0 ; 2) et B(3 ; 0) ; (2) la courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Première partie

1° Soit f la fonction définie sur par : f (x) = – x2 + 2 .
Calculer la dérivée de f, notée f '.
Etudier son signe et en déduire les variations de f (on ne demande pas l'étude des limites).
2° Soit g la fonction définie sur par : g (x) = x2 – 2 x + 3 .
Etudier les variations de g (on ne demande pas l'étude des limites).
3° On note respectivement C' et C" les courbes représentatives des fonctions f et g.
a) Démontrer que C' et C" passent par le point K (1; 3) et ont la même tangente T en ce point.
On rappelle que pour montrer que deux droites sont confondues, il suffit de prouver qu'elles ont un point commun et le même coefficient directeur.
b) Tracer sur un même graphique la droite T, la partie de C' correspondant aux points d'abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de C" correspondant