Corrigé de la série de T.D. 02 : variables aléatoires continues
Exercice 4 : Soit f la fonction définie sur R par
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,1]
0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

1. Montrons que f est une densité de probabilité.
i) 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ ii) 𝑓 est continue sur ℝ car c’est un polynôme sauf en 1 iii) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
= ∫ 0𝑑𝑥
0
−∞
+ ∫ 2𝑥𝑑𝑥
1
0 …afficher plus de contenu…

Fonction de répartition de X
∀𝑥 ∈ ℝ , 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
−∞
Pour déterminer la fonction de répartition de X on doit discuter selon les valeurs de 𝑥
Si 𝑥 < 0, , 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 0𝑑𝑡
𝑥
−∞
= 0
Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 , 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
−∞
= ∫ 0𝑑𝑡
0
−∞
+ ∫ 2𝑡𝑑𝑡
𝑥
0
= 𝑥2
Si 𝑥 > 1 , …afficher plus de contenu…

1. Fonction de répartition de 𝑋
∀𝑥 ∈ ℝ , 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
−∞
Si 𝑥 < 0, , 𝐹𝑋(𝑥) = 0 Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 , 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
−∞
= ∫
2
𝑎
(1 −
𝑡
𝑎
) 𝑑𝑡
𝑥
0
=
2
𝑎
[𝑡 −
1
2𝑎
𝑡2]
0
𝑥
=
2
𝑎
(𝑥 −
1
2𝑎
𝑥2)
Si 𝑥 > 𝑎 , 𝐹𝑋(𝑥) = ∫