Chapitre

1

Second degré et problèmes

1. Page d’ouverture
28
cm

• Énigme ✱

a=

h'

x

3 h × a a 2 ×a
3 2 aire de la pizza : =
=
a
=
2
2
4 2

= 196 3 cm .
3
x
×x
3 2 h’ × x
2
= x cm2
=
aire de chaque part =
2
2
4

ce qui donne x2 = 392 d’où x ≈ 19,8 cm.
L’âge de mon petit fils est 20 ans.

• Énigme ✱ ✱
On note h la fonction de degré 2 qui donne la position d’un point de l’arc parabolique en fonction de la distance de la rive.
La portée et la hauteur de l’arc parabolique permettent d’obtenir l’écriture de la forme canonique :
200 2 h (x) = a x –
+ 80.
2
2
Or h (0) = 0 donc a × 100 + 80 = 0 donc a = – 0,008.
Ainsi h (x) = – 0,008 (x – 100)2 + 80. h (40) = 51,2.
La hauteur du pont est 51,2 m.

1



b) 3x2 – 2x = 0 équivaut à x(3x – 2) = 0, c’est–à–dire
2
x = 0 ou 3x – 2 = 0. Donc  = '0 ; 3 1 .
c) (2x + 3)(2x + 4) = 0 équivaut à :
3
2x + 3 = 0 ou 2x + 4 = 0. Donc  = '–2 ; – 2 1 .
d) x2 + 2x + 1 = 0 s’écrit (x + 1)2 = 0.
Donc  = {– 1}.
e) (x + 2)2 – 4 = 0 équivaut à (x + 2 – 2)(x + 2 + 2) = 0, soit x(x + 4) = 0, c’est–à–dire x = 0 ou x + 4 = 0.
Donc  = {– 4 ; 0}.
3 1. a) 2(x – 1)2 – 8 = 2(x2 – 2x + 1) – 8 = 2x2 – 4x – 6 = P(x).
2
b) 2(x – 3)(x + 1) = 2(x – 2x – 3) = 2x2 – 4x – 6 = P(x).
2. a) P(3) = 2(3 – 3)(3 + 1) = 0,
P(1+ 2)= 2(1+ 2 –1)2 – 8

= 2( 2 )2 – 8 = – 4.
b) • P(x) = 0 s’écrit 2(x – 3)(x + 1) = 0 et équivaut à : x – 3 = 0 ou x + 1 = 0.
Donc  = {– 1 ; 3}.
• P(x) = – 8 s’écrit 2(x – 1)2 – 8 = – 8 et équivaut à :
2(x – 1)2 = 0.
Donc  = {1}.
• P(x) = – 6 s’écrit 2x2 – 4x – 6 = – 6, soit
2x2 – 4x = 0, c’est-à-dire 2x(x – 2) = 0 et équivaut à x = 0 ou x – 2 = 0. Donc  = {0 ; 2}.
c) • P(x) = 2(x – 1)2 – 8 donc le minimum de P sur R est – 8 et il est atteint pour x = 1.
4 a) Pour tout nombre réel x, – 2(x – 3)2 – 1 < 0.

b) x 1 a) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
b) (x – 3)2 = x2 – 6x + 9
5 2
10
25
c) c x - 3 m = x2 - 3 x +