Cours de probabilité

Pages: 4 (763 mots) Publié le: 15 avril 2011
STS MAI 2 2006/2007




Chapitre 2 : Probabilit´es
Fiche 3 : Loi binomiale & Loi de Poisson
1 Loi binomiale
1.1 Introduction
On consid`ere une exp´erience al´eatoire qui a deux issuespossibles : r´eussite ou ´echec. On notera p la proba-
bilit´e de r´eussite et q la probabilit´e d’´echec. On a alors p+q = 1. Une telle exp´erience est appel´ee ´epreuve
de Bernoulli1.
Exemple 1 :une ´epreuve consiste `a lancer un d´e. On gagne si l’on obtient un 6.
On a donc p =
. . .
. . .
et q =
. . .
. . .
On r´ep`ete maintenant n fois la mˆeme ´epreuve de Bernoulli, de fa¸con `a ceque chaque ´epreuve soit
ind´ependante des autres. On note alors X la variable al´eatoire ´egale au nombre total de succ`es. La loi de
probabilit´e de X est appel´ee loi binomiale de param`etres net p, et not´ee B(n, p).
Exemple 2 : on lance 5 fois de suite un d´e. X est alors le nombre de r´eussites, c’est-`a-dire le nombre de
6 obtenus.
Calculer P(X = 0) et P(X = 3).
Compl´eter la loi deprobabilit´e de X :
xi 0 1 2 3 4 5
P(X = xi)
1.2 D´efinition et propri´et´es de la loi binomiale
D´efinition 1
Soit n 2 N, p 2 [−1; 1] et X une variable al´eatoire.
On dit que la variableal´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n et p, et on note X B(n, p),
lorsque :
– L’ensemble des valeurs prises par X est : X(
) = {0; 1; 2; . . . ; n}.
– Pour tout k 2 {0; 1; 2; . . . ; n},P(X = k) = Ck
npkqn−k, avec q = 1 − p.
Th´eor`eme 1 (admis)
Soit n 2 N, p 2 [−1; 1] et X une variable al´eatoire. On note q = 1 − p.
Si X suit une loi binomiale de param`etres n et p, alors :E(X) = np V (X) = npq X = pnpq
1.3 Crit`eres permettant d’utiliser la loi binomiale
Il faut savoir justifier l’utilisation d’une loi binomiale dans une situation donn´ee. Pour cela, on v´erifiera
lespoints suivants :
– on a affaire `a une ´epreuve de Bernoulli comportant deux issues possibles r´eussite et ´echec, de probabilit´es
p et q respectivement.
– On r´ep`ete n fois cette ´epreuve...
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