Declic2012

Pages: 84 (20893 mots) Publié le: 2 janvier 2015
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C H A P I T R E

Suites numériques

Introduction
1. Programme
Contenus
Suites
Raisonnement par récurrence.
Limite finie ou infinie d’une suite.

Limites et comparaison.

Opérations sur les limites.
Comportement à l’infini de la suite ^qnh ,
q étant un nombre réel.

©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S

Suite majorée, minorée, bornée.

Capacités attendues

Commentaires• Savoir mener un raisonnement par récur- Ce type de raisonnement intervient tout au
long de l’année et pas seulement dans le
rence.
cadre de l’étude des suites.
 Dans le cas d’une limite infinie, étant Pour exprimer que un tend vers , quand n
donnés une suite croissante ^unh et un tend vers + 3 , on dit que : « tout intervalle
nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algo- ouvertcontenant , contient toutes les
rithme un rang à partir duquel un est supé- valeurs un à partir d’un certain rang ».
rieur à A.
Pour exprimer que un tend vers + 3
quand n tend vers + 3 , on dit que : « tout
intervalle de la forme @ A ; + 3 6 contient
toutes les valeurs un à partir d’un certain
rang ».
Comme en classe de Première, il est
important de varier les approches et les
outils surlesquels le raisonnement s’appuie.
On présente des exemples de suites qui
n’ont pas de limite.
Démontrer que si ^unh et ^vnh sont deux On démontre que si une suite est croissante
et admet pour limite ,, alors tous les termes
suites telles que :
– un est inférieur ou égal à vn à partir d’un de la suite sont inférieurs ou égaux à ,.
Le théorème dit « des gendarmes » est admis.
certain rang ;
– untend vers + 3 quand n tend vers + 3 ;
alors vn tend vers + 3 quand n tend vers
+ 3.
• Étudier la limite d’une somme, d’un produit
ou d’un quotient de deux suites.
Démontrer que la suite ^q nh , avec q 2 1, a On démontre par récurrence que pour a réel
strictement positif et tout entier naturel n :
pour limite + 3 .
^1 + ahn H 1 + na .
• Déterminer la limite éventuelle d’une suite On peutétudier des situations où intervient
géométrique.
la limite de la somme des premiers termes
d’une suite géométrique.
• Utiliser le théorème de convergence des Ce théorème est admis.
suites croissantes majorées.
Il est intéressant de démontrer qu’une suite
croissante non majorée a pour limite + 3 .
Des exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques, sont traités
enexercice.
 Des activités algorithmiques sont menées
dans ce cadre.
AP Approximations de réels (r, e, nombre d’or,
etc.).

Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole
de type algorithmique sont signalées par le symbole .

. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités

Livre du professeur - CHAPITRE 1Suites numériques

1

2. Intentions des auteurs
Dans ce premier chapitre sur les suites numériques :
• on fait le point sur les connaissances de Première, en
particulier : sens de variations d’une suite, suites arithmétiques et géométriques ;
• on met en place un nouveau type de raisonnement : le
raisonnement par récurrence ;
• on fait une étude approfondie de la notion de limite
d’unesuite : définitions précises, opérations sur les
limites, théorèmes de comparaison, cas des suites
monotones.
Toutes ces notions sont abordées à travers la résolution
de problèmes le plus souvent liés à la vie courante ou
aux autres disciplines par une modélisation de phénomènes discrets. De nombreux QCM, « Vrai ou faux ? »
permettent de faire le point rapidement sur la compréhension ducours et aussi la mise en place de raisonnements par contre-exemple.

Comme a2 H 0 , on a :

Partir d’un bon pied
Objectif
Réactiver chez l’élève :
– les différentes façons de définir une suite ;
– les variations d’une suite numérique ;
– la lecture d’un algorithme.
A

1 b. et c.

2 b. et c.

3 a.

4 a. et c.

B

1 Faux.

2 Vrai.

3 Faux.

4 Vrai.

C

1 Vrai.

2...
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