TspéIE2.dviTle spé ialité � Devoir surveillé numéro 1
Exer i e 1. (5 pts) Soit f la fon tion dé�nie pour x ∈ [0;+∞[ par : f : x 7−→
4x
x+ 2
.
1. Montrer que f est roissante sur [0;+∞[.
2. On dé�nit la suite (un) en posant u0 = 8 et pour tout n ∈ N : un+1 =
4un
un + 2
.
a) On a représenté i-dessous la fon tion f et tra é la droite D d'équation y = x. Construire les points A0, A1, A2 et A3 d'abs isses respe tives u0, u1, u2 et u3. On laissera bien visibles …afficher plus de contenu…

Les points I, J , K et L sont-ils oplanaires ? Justi�er.
Exer i e 4. (9 pts) Un robot roule le long d'une route de 100 mètres de long. Il démarre à l'extrémité gau he et, haque se onde, avan e vers la droite suivant un programme déterminé.
Les parties A et B de et exer i e sont indépendantes.
A) On suppose que, pendant la première se onde, le robot se dépla e à vitesse onstante de 2 millimètres vers la droite, puis que, haque se onde, sa vitesse est multipliée par 3. On note un la distan e par ourue au bout de n se ondes, exprimée en millimètres. On a don u0 = 0 et u1 = 2.
1. Justi�er que pour tout entier n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 3un.
2. Cal uler u2, u3 et u4.
3. Montrer par ré urren e que pour tout entier n ∈ N, un+1 = 3un + …afficher plus de contenu…

• D'après le prin ipe de ré urren e, on a don un+1 = 3un +2 pour tout n ∈ N.
4. Pour tout n ∈ N, wn+1 = un+1 + 1 = 3un + 2 + 1 = 3(un + 1) = 3wn don la suite (wn) est géométrique de raison 3. Comme de plus w0 = 1, on a don wn = 3n. Par suite, un = wn − 1 = 3n − 1.
5. Puisque 100 mètres orrespondent à 100000 millimètres, il s'agit de trouver le plus petit entier n tel que un ≥ 100000, soit 3n − 1 ≥ 100000, soit en ore 3n ≥ 100001. Comme 3 > 1, la suite de terme général 3n est
roissante. On onstate de plus que 310 < 100001 et 311 > 100001, don
'est au bout de 11 se ondes que le robot aura par ouru les 100 mètres.
B) 1. Soit n ∈ N. Nous avons