c Christophe Bertault - MPSI

Pour bien démarrer l’année
Ce chapitre a un statut un peu particulier par rapport à tous ceux qui vont suivre : nous allons y étudier les bases de la logique mathématique et y définir quelques notions élémentaires que nous utiliserons toute l’année. Ne paniquez pas si vous n’aimez pas ce chapitre, les chapitres suivants ressembleront davantage aux chapitres que l’on vous a enseignés au lycée.

Un peu de logique

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Convenons d’appeler proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question : p est-elle vraie ? La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions, mais par exemple, « Dis-le-moi ! », « Bonjour » ou « Comment vas-tu ? » n’en sont pas ; la question « Est-il vrai que bonjour ? » n’a aucun sens.
La valeur de vérité d’une proposition est soit le vrai (V), soit le faux (F). Deux propositions qui ont la même valeur de vérité sont dites équivalentes ; cela veut dire qu’elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses. Cette notion est très importante : quand vous devez démontrer une proposition p, vous n’êtes pas obligé de démontrer p elle-même ; il suffit que vous démontriez n’importe quelle proposition q équivalente à p.
Exemple
« Socrate n’est pas immortel » et « Socrate est mortel » sont deux propositions équivalentes ; démontrer l’une revient donc à démontrer l’autre.

1.1

Connecteurs logiques

On appelle connecteur logique tout moyen de construire une proposition unique à partir d’une ou plusieurs propositions. Par exemple, « et », « ou », « si, alors » et « parce que » sont des connecteurs ; à partir des propositions « J’ai faim » et « J’ai soif », on peut construire une nouvelle proposition « J’ai faim et (j’ai) soif ».
Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d’une proposition construite à l’aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction. Ainsi la