UNIVERSITE DES MONTAGNES
Concours d’entrée en Première année Date : 23 septembre 2007

Filière des Sciences et Technologie

Durée: 2h30 / épreuve

SYNTHESE DES EPREUVES

INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS
La durée de chaque épreuve est de 2 heures 30 minutes Chaque épreuve est constituée de 20 exercices. Chaque exercice comporte cinq propositions de réponse: a), b), c), d), e). Le candidat indiquera pour chaque proposition si elle est vraie (V) ou fausse (F). Toute réponse exacte donne droit à un point. Toute réponse inexacte entraîne le retrait d’un demi point. L’annulation d’une réponse ou l’abstention n’est pas prise en compte, c’est-àdire qu’elle ne rapporte ni ne retire de point. Il est conseillé de s’abstenir de porter VRAI OU FAUX quand on n’est pas sur de la réponse Une bonification d’un point est ajoutée chaque fois qu’un exercice est traité correctement, c’est-à-dire lorsque les mentions (V) ou faux (F) sont toutes exactes pour les 5 propositions de réponse. Vous devez commencer par remplir la partie administrative de votre feuille de composition.

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Epreuve de Mathématiques Calculatrices autorisées
Exercice 1

On considère la fonction f définie sur [0;1[ , telle que f(0) = 0 et f ' ( x) = demande pas d’expliciter f(x)) a) 0 p 1 − x ≤ 1 − x 2 ≤ 1 + x , pour tout x de [0;1[ b) 4 − x ≤ −2 − x 2 , pour tout x de [0;1[ c)

1 1− x2

pour tout réel x de [0;1[ (on ne

d) h' ( x) ≤ f ' ( x) , sur [0;1[ , où

1 1+ x [0;1[

≤

1 1− x2

≤

1 1− x

, pour tout x de

h( x) = 2 1 + x − 2 e) f ( x) ≤ g ( x) sur [0;1[

Exercice 2

Soit la fonction f définie par

r r f ( x) = x + 1 + 2e − x , et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i , j ) d) une équation de la tangente à (C) au point a) f’ est croissante dur [ln 2;+∞[  − 1 b) f est positive sur ]− ∞; ln 2] A  est y = (1-2e)x + 1   c) f n’admet pas d’asymptote  2e 
e) l’équation f(x) = 0 n’admet pas de zéro sur IR

Exercice 3

Pour tout entier