Géométrie

Pages: 48 (11931 mots) Publié le: 26 mai 2012
Comptes-Rendus du cours de géométrie de la préparation au CAPES 2006
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Plan
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1. Géométrie affine
1.1 Espaces affines
1.2 Sous-espaces affines
1.3 Repères
1.4 Applications affines
1.5 Le groupe affine
1.6 Convexité
2. Dualité et algèbre bilinéaire
2.1 Dualité
2.2 Formes quadratiques
2.3 Espaces vectoriels euclidiens
2.3.1Sous-espaces, symétries, projections
2.3.2 Le groupe orthogonal
2.3.3 Orientations
2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien
2.3.5 Angles de vecteurs
2.3.6 Angles de droites
2.3.7 Le groupe des isométries vectorielles de l'espace
2.4 Espaces affines euclidiens
2.4.1 Définitions fondamentales
2.4.2 Isométries affines du plan
2.4.3 Isométries affines de l'espace
2.4.4 Similitudes planes2.4.5 La condition de cocyclicite
2.4.6 Applications aux similitudes directes
3. Coniques
3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques
3.1 Equations d'une conique
3.2 Intersection d'une droite et d'une conique
3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole
3.2.2 Cas d'une parabole
3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole
3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente
3.3. Foyers et directrices3.4. Propriétés bifocales
3.5 Engendrement de coniques à l'aide de cercles
3.6 Coniques et cônes de révolution : le théorème d'Apollonius

Cours du 19/09/06
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1. Géométrie affine
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1.1 Espaces affines
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- Définition d'un espace affine. Notations comme chez Liret-Martinais:
$(\mathcal{E}, E, \alpha)$.

- Exemples : R^2, l'espace affine associea un espace vectoriel,
Le plan x+y+z=1 dans R^3.

Remarque :
0) Les espaces affines n'ont pas de point privilégie (pas "d'origine") !
1) abus de langage courants
2) Notation $\vec{PQ}.
3) Règle de Chasles

- Définition : Un point massique d'un espace affine est un couple
$(P,\lambda)$, ou $P$ est un point et $\lambda$ un réel.

- Lemme : On se donne r points massiques$(P_i, \lambda_i)$ tels que
La somme des $\lambda_i$ soit non nulle.

a) Il existe un unique
point G tel que $\sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{G P_i} =0$.

b) Pour tout point $P$, on a $\vec{PG} = \frac{1}{\lambda_1 + \ldots +
\lambda_r} \sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{P P_i}$.

- Definition : On appelle barycentre de la famille $(P_i, \lambda_i)$
le point G. L'isobarycentre .... . Le milieu....

- Remarque : Le milieu est une "notion affine", i.e. ne fait
intervenir que des points et des vecteurs et non pas des "longeurs".

- Lemme (associativite des barycentres)
[Demonstration laissee en exercice]

1.2 Sous-espaces affines
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On fixe un espace affine \mathcal{E} de direction E.

- Lemme : Pour une partie non vide \mathcal{F} de \mathcal{E},
on aequivalence entre
(i) \mathcal{F} = P + F pour un sous-espace vectoriel F de E
(ii) \mathcal{F} est stable par formation de barycentres

- Definition d'un sous-espace affine par les proprietes (i) et (ii) du lemme.
Definition de sa direction, de sa dimension.

- Remarques : 1) Tout sous-espace affine est un espace affine.
2) Les sous-espaces affines de R^n sont exactement les ensembles nonvides de
solutions de systemes d'equations inhomogenes a n variables.

- Quelques exemples de sous-espaces affines de R^2, R^3 et R^4 donnes par des
systemes d'equations inhomogenes.

- Definition du segment [PQ] entre deux points, de la droite (PQ) passant par
deux points distincts, de l'alignement, du vecteur directeur d'une droite,
d'un repere cartesien d'une droite, de la mesurealgebrique \overline{AB}
associee a deux points A,B d'une droite reperee.

- Lemme : Le rapport de deux mesures algebriques est independant du
choix du repere.
[Demonstration laissee en exercice]

- Lemme : a) L'intersection de deux sous-espaces affines est ou bien
vide ou bien un sous-espace affine de direction l'intersection
des directions.
b) Si la somme des directions des sous-espaces...
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