MT18

Logique et théorie des ensembles
Rappels :
ℕ : ensemble des entiers naturels = { 0 , 1 , 2 , … } A part 0, un nombre n’a pas d’opposé dans ℕ
*

=

− {0}

: ensemble des entiers relatifs = { …, – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , … } = { n, -n ; n ∈ ℕ } A part -1, 1, un entier relatif n’a pas d’inverse dans

= − {0} p p p * : ensemble des nombres rationnels = { ;( p, q ) ∈ × } avec 1 = 2 ⇔ p1.q2 = p2 .q1 } q q1 q2
*

*

=

− {0}

Mais π ,
* +

2,e∉
*

: ensemble des nombres réels

=

− {0}

: ensemble des réels strictement positifs
2

Mais les racine i et –i de x²+1 ne sont pas dans : ensemble des nombres complexes = { a+ib ;(a,b) ∈ }
*

=

− {0}

1. Logique 1.1. Propositions logiques
Définition : On appelle proposition, un énoncé qui ne prend que 2 valeurs : vrai (V) ou faux (F). Exemple : « 3 < 4 » est une proposition de valeur vraie. «

2 est un rationnel » est une proposition de valeur fausse.

1.2. Négation d’une proposition Soit P une proposition, on note ¬ P ou non P sa négation. La table de vérité résume la négation : P V F Exemple : P : 3 < 4 est vraie

¬P
F V

¬P : 3

4 est fausse

1.3. Connecteurs logiques
2 propositions P et Q peuvent être connectées pour obtenir une troisième proposition R. Le connecteur est défini par la valeur de la proposition R en fonction des valeurs de P et Q.

1.3.1. Connecteur « et »
La conjonction de P et Q est P et Q ou P∧ Q ou

P ∧ Q est vraie si et seulement si P est vraie et Q est vraie.

⎧P ⎨ ⎩Q

Cours 1 AC

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A 2008

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P V V F F Q V F V F P ∧ Q V F F F

Exemple : P ∧¬ P est toujours fausse.

1.3.2. Connecteur « ou »
La disjonction de P et Q est P ou Q ou P∨ Q P ∨ Q est fausse si et seulement si P est fausse et Q est fausse. P V V F F Q V F V F P ∨ Q V V V F (« ou » inclusif).

Exemple : P ∨ ¬ P est toujours vraie.

1.3.3. Connecteur « implique »
L’implication de P vers Q est P ⇒ Q : P est l’hypothèse, Q est la conclusion P ⇒ Q est fausse