48. Théorème des valeurs intermédiaires Oral 1

Plan
Introduction

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1 Le théorème des valeurs intermédiaires

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2 Le théorème de bijection
2.1 Le théorème de bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Extensions du théorème de la bijection . . . . . . . . . .
2.3 Recherche de solutions approchées de l’équation f (x) = k
2.3.1 La méthode par dichotomie . . . . . . . . . . . .
2.3.2 La méthode par balayage . . . . . . . . . . . . . .

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3 Exercices d’application

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Introduction
Le théorème des valeurs intermédiaires est introduit en Terminale S et ES lors du thème “Langage de la continuité et tableaux de variations” en Analyse. Ce théorème concerne les fonctions réelles continues et monotones sur un intervalle et donne l’existence de solutions d’équations.
C’est donc un théorème important qui nécessite les pré-requis suivants :
• Notions sur le limites
• Notions sur la continuité (notamment la définition de la continuité d’une fonction sur un intervalle) • Notions sur les suites (dont le théorème d’encadrement - dit “des gendarmes” -)
• Notions sur les suites adjacentes : Définition et théorème des suites adjacentes
Sa démonstration est admise en Terminale ES mais est faite en classe Scientifique à l’aide des suites adjacentes ; c’est pour cela qu’on traitera cet exposé dans le cadre de la Terminale S.
Pour introduire cet exposé voici un exercice qui pourrait être exposé aux élèves afin de leur montrer la problématique mise en jeu : x définie sur R \ {−1, 1} .
−1
On souhaite trouver la ou les solutions de l’équation f (x) = 0.

On considère la fonction f (x) = |x + 1| +

x2

A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on obtient la courbe suivante :

1

Théorème des valeurs