Garik Kimovitch Vaïnstein11 (transcription allemande : Weinstein12) est né le 13 avril 1963 d'un père juif, Kim Moïssevitch Vaïnstein11 (ou Weinstein) et d'une mère d'origine arménienne du Haut-Karabagh, Klara Chaguenovna Kasparova13. Ses parents s'étaient rencontrés au laboratoire industriel de Bakou où ils travaillaient comme ingénieurs. Le père de Garik était issu d'une famille de musiciens. Le père de Kim, Moïsseï (mort en 1963) était un compositeur et chef d'orchestre. Le frère cadet de Kim Vaïnstein (et l'oncle de Garik), Léonide Vaïnstein, était compositeur en Azerbaïdjan. Le père de Garik, opposé à ce qu'il apprenne la musique, apprit à Garik les échecs lorsqu'il eut cinq ans. Il lui donna également le goût de la géographie14. La mère de Garik lui transmit sa passion pour l'histoire.

Le père de Garik tomba malade pendant l'été 1970 et mourut en 197115, à l'âge de trente-neuf ans, du lymphome de Hodgkin13. La mère de Garik ne l'emmena pas à l'enterrement et Garik raconta à son école que son père était parti en voyage d'affaires15. Le grand-père maternel de Garik, Chaguen, un ouvrier du pétrole et fervent communiste, prit sa retraite en 1971 et s'occupa de Garik. Ils eurent ensemble de nombreuses conversations sur le régime soviétique. En 1975, Garik reprit le nom de sa mère (qui avait gardé son nom lors du mariage) en le russifiant, devenant Garri (ou Garry) Kasparov.

En janvier 1990, Kasparov fut victime des pogroms anti-arméniens de Bakou (du 13 au 16 janvier) et contraint de fuir la capitale azérie, comme des milliers d'autres personnes d'origines arméniennes, en direction de l'Arménie16.

Garri Kasparov a trois enfants : Polina (née en 1993 de sa première épouse, Macha – Maria Arapova – épousée le 3 mars 198917), Vadim (né en 1997, de sa deuxième épouse Julia) et Aida (née en 2006, de sa troisième épouse Daria).

Garik Vaïnstein avait appris à jouer aux échecs par son père, qui n'avait jamais été un joueur intéressé, tandis que sa mère était