Les débuts de l'intégrale définie

Tout d’abord, c’est Augustin Louis Cauchy qui a découvert comment trouver l’aire de n’importe qu’elle courbe, soit par des sommes de rectangles.
Par la suite, dans les années 1850, Bernhard Reimann a repris les sommes, les a amélioré, et leurs a donné son nom, d’où vient les Sommes de Reimann.
Ensuite, Gaston Darboux traduit les travaux de Reimann, et amène des améliorations : les sommes inférieures et les sommes supérieures.
Rrésumé de la technique de partition :
1-Diviser l’intervalle en x
2-Choisir les valeurs de y (en choisissant soit la borne de droite ou gauche, borne supérieur ou inférieur, ou une borne quelconque.)
3-Passer la limite.
Aussi, Georg Cantor propose l’ensemble triadique en 1874, qui est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle.
On démontre trois problèmes de l’intégrale de Reimann :
1- SI l’ensemble de points de discontinuités n’est pas de mesure nulle, alors la fonction ne sera pas intégrable au sens de Reimann.
2- Il existe des fonctions intégrables dont leur dérivée ne l’est pas.
3- On ne peut intégrer des séries de fonctions.
Dans les année 1900 ,Henri-Léon Lebesgue, mathématicien français, expose les sommes de Lebesgue, où il faut partitionner de l’image de la fonction.
En 1960, Henstock et Kurzweil proposent une nouvelle intégrale à peine plus compliquée que l'intégrale de Reimann, mais aussi performante que celle de Lebesgue.
Résumé des techniques de partition soit :
Avant Lebesgue :
1-Diviser l'intervalle en x;
2-Choisir valeur de y;
3-Passer à la limite.

Lebesgue :
1-Diviser l'intervalle;
2-Choisir valeur en x;
3-Passer à la limite.
Henstock et Kurzweil :
1-Identifier les valeurs de y;
2-Inclure le y dans un jauge;
3-Passer à la limite.