Note : ce corrigé n’a pas de valeur officielle et n’est donné qu’à titre informatif sous la responsabilité de son auteur par Acuité.

Corrigé du sujet de Mathématiques BTS Opticien Lunetier Session 2009 Proposé par Olivier BONNETON

Exercice 1 : (10 points)

Partie A : Modèle discret 1. Nous allons déterminer les premiers termes de cette suite arithmétique. Rappelons que si la raison est r, on a la relation : pn+1 = pn + r Ainsi, p1 = p0 + r = 50 + 20 = 70 p3 = p2 + r = 90 + 20 = 110 p2 = p1 + r = 70 + 20 = 90 p4 = p3 + r = 110 + 20 = 130

2. a) D’après l’énoncé, toute augmentation de 20 euros entraîne une diminution de 20 % du nombre de clients. Le coefficient multiplicateur se calcule en utilisant la formule suivante : coef = 1- t/100. Ici une diminution de 20 % équivaut à un coefficient de 1 – 20/100 = 0.8. Cela signifie qu’à chaque augmentation du prix de 20 euros, le nombre de clients est multiplié par 0.8. D’où : cn+1 = 0.8 cn On a donc une suite géométrique de raison q = 0.8 et de premier terme c0 = 10000 2.b) La formule générale d’une suite géométrique est : cn = c0 x qn . Avec les paramètres précédents, on a : cn = 10000 x (0.8)n 3.a) On complète le tableau suivant : n pn cn rn 0 50 10000 500000 1 70 8000 560000 2 90 6400 576000 3 110 5120 563200 4 130 4096 532480

Remarque : rn se calcule en faisant le produit de pn par cn

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3.b) La meilleure recette pour l’entreprise OPTITAN est réalisée pn = 90 euros d’après le tableau ci-dessus.

Partie B : Modèle continu Section I 1.a) Nous avons à résoudre une Equation Différentielle Linéaire du Premier Ordre Sans Second Membre. La solution de cette équation est : y (x) = k e-f(x) où f(x) est la primitive de b/ a et k une constante réelle. Ici on a y’ + 20/100 y = 0 La primitive de b/a est : 0.2x Donc la solution est : y(x) = k e -0.2x avec k une constante réelle 1.b) La condition initiale qui nous est donnée dans l’énoncé nous permet de trouver la constante k. C(0) = k e -0.2x0