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Pages: 9 (2182 mots) Publié le: 14 mars 2013
Fiche 6 Puissances, exponentielles et logarithmes 1/ Généralités La progression arithmétique des exposants, par exemple q1, q2, q3, q4, q5 … était déjà connu d'Archimède. Toutefois, sans intérêt immédiat, cette étude tomba dans l'oubli. Elle ne fut redécouverte qu'en 1544 par le mathématicien Stifel (14871567), qui notait que si l'on multiplie deux éléments quelconque de la suite (progressiongéométrique) alors on obtient un élément dont l'exposant est la somme des termes correspondants de la progression arithmétique, par exemple q1.q4=q5=q1+4. Ainsi naquit une discipline d'où émergea une série d'outils mathématiques tels que les puissances, les exponentielles et les logarithmes. John Napier (1550-1617), dit Néper, reprit l'idée et la développa en formalisant les relations progressionarithmétique/progression géométrique sous le vocable logarithmes. Il crée ce mot scientifique en latin "logarithmus" à partir des racines grecques logos et arithmos, signifiant respectivement rapport et arithmétique. Particulièrement son étude portait initialement sur les logarithmes d'un sinus d'angle et la définition que Néper inscrivait dans son ouvrage 'mirifici logarithmorum canonis descriptio'(1614) était: "Le logarithme de tout sinus est un nombre qui exprime avec une grande approximation la ligne qui augmente également dans des temps égaux pendant que la ligne des sinus total décroît proportionnellement dans le sinus, les deux mouvements ayant lieu dans le même temps et au commencement avec la même vitesse". Les logarithmes étaient nés mais un inconvénient majeur résidait dans le faitqu'il s'appuie sur une base difficilement compréhensible, puisqu'il s'agit du logarithme népérien de base "e", nombre irrationnel valant e=2,718…Le logarithme népérien se note habituellement "ln". Exemple: ln e = 1 Un mathématicien du nom de Briggs, passionné par la notion de logarithme pour laquelle il consacra l'essentiel de son temps, suggéra à Néper de créer un logarithme de base usuelle,c'est à dire de base 10, auquel on donna le nom de logarithme décimal ou logarithme usuel et pour lequel il construisit une table spécifique 2/ Logarithmes Le logarithme représente avant tout un nombre. Exemple

appelée caractéristique (ici 2) et une partie fractionnaire appelée mantisse (ici 7324). Dans la pratique il est donc conseillé de lire les tables de logarithmes plutôt que de les calculer.Si l'on prend le cas des logarithmes décimaux, les tables habituelles donnent les logarithmes simples à quatre chiffres compris entre 0,0000 et 0,9996. ce qui correspond à des valeurs logarithmiques d'un nombre appartenant à l'intervalle [1; 10[. Dans l'exemple précédent, à savoir log10 540 = 2,7324 , il faut d'abord faire quelques transformations telles que:

log10 540 = log10 (100 × 5,4) =log10 100 + log10 5,4
= log10 10 2 + log10 5,4 = 2 + 0,7324 = 2,7324
Certaines règles permettant ces écritures vont être énoncées ci-après. Il faut donc comprendre que l'utilisation des tables n'est possible que si le nombre pour lequel on recherche un logarithme à été mis sous la forme 10 × n 0 , n −1 n − 2 n −3 .... ,
m

n0 étant la caractéristique et n−1 n − 2 n−3 .... la mantisse.
Remarque: tout nombre étant décomposable en un produit de nombres premiers, cela revient à retenir en priorité les logarithmes des ces nombres. Pour mémoire : n Log10 n ln n 2 0,301 0,693 3 0,477 1,097 5 0,699 1,609 3/ Règles opératoires: Soient a, b, c et n des nombres réels, a ≠ 0 , b ≠ 0 et c ≠ 0 , alors : Règle 1:

log b 1 = log b b 0 = 0 log b a.c = log b a + log b c

Règle 2: log b b = 1 Règle3:

log10 540 = 2,7324 . Ce nombre est composé de 2 parties: une partie entière
page 1

a n = n. log b a 1 Règle 5: log b = − log b a a a Règle 6: log b = log b a − log b c c ln c Règle 7: a = log b c = avec ln logarithme népérien de base e. ln b
Règle 4: log b page 2

4/ Puissances et exponentielles Fondamentalement il n'existe pas de différences entre la fonction puissance et...
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