MATHS UTILES POUR LES NULS
Les ventes d’un magasin augmentent de 10% la première année, puis baissent de 20% la seconde année et s’accroissent, la dernière année, de 30%. Quel est le taux de variation global ?
Un commerçant baisse le prix d’un article de 20% puis l’augmente de 20%. Quel est le bilan ?
Á quel taux d’intérêt un capital placé pendant 10 ans double-t-il ?
C’est à ce genre de questions que nous tenterons de répondre dans ce cours.
1. Pièges des calculs des taux de variation
A. Taux de croissance
Le taux de croissance entre deux dates, de départ et d’arrivée, est la variation exprimée en pourcentage de la valeur de départ.
TC =
Ce qui est équivalent à :
TC =
Quels rapports entre taux de croissance, coefficient multiplicateur et indice ?
Pourcentage de variation et taux de croissance sont synonymes. On notera également que le rapport entre la grandeur d’arrivée et la grandeur de départ est appelée coefficient de variation (aussi coefficient multiplicateur). Son calcul est simple, puisqu’il découle de celui du TC.
Coefficient multiplicateur = 1 + (TC/100)
Ainsi lorsqu’on dit que le prix du Super a augmenté de 30% entre 2010 et 2012, on raisonne en pourcentage de variation. Mais on peut aussi raisonner en coefficient multiplicateur et dire que le prix du Super a été multiplié par 1.30 entre 2010 et 2012, ce qui revient au même. On pourrait même dire que le prix du Super est à l’indice 130 en 2012 sur base 100 en 2010. Trois langages apparemment différents et utilisés dans des contextes différents sont en fait identiques. Ainsi :
Pourcentage de variation = Coefficient multiplicateur = Indice
Dire qu’une grandeur augmente de z% entre t0 et t1, c’est dire qu’elle est multipliée par (1 + z/100) entre ces deux dates, c’est dire aussi qu’elle atteint en t1 l’indice (100 + z) sur base 100 en t0.
Puisque +z% est équivalent à ×(1 + z/100), il en résulte que :
Si une grandeur g double du temps 0 au temps 1 il vient, g1 = 2g0 = g0 (1 + 1) = g0