Méthode des moindres carrés 1

Méthodes des moindres carrés
Chapitre 6 du polycopié

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La méthode des moindres carrés permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure à un modèle mathématique censé décrire ces données.

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Ce modèle peut prendre diverses formes. Il s’agira en général de lois de conservation que les quantités mesurées doivent respecter. La méthode des moindres carrés permet alors de minimiser l’impact des erreurs expérimentales et évaluer les valeurs plus probables des paramètres de la loi recherchée, ainsi
«ajoutant de l’information» dans le processus de mesure.

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Les données suivent la courbe figurée en pointillés et sont affectées par une erreur aléatoire. Elles sont représentées graphiquement sous la forme de points de mesures, munis de barres d'erreur.
Le meilleur ajustement déterminé par la méthode des moindres carrés est représenté en rouge.
Il s'agit de la fonction qui minimise la somme quadratique des écarts
(appelés résidus) entre les données et le modèle.

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Dans le cas le plus courant, le modèle théorique est une famille de fonctions ƒ(x,θ) d’une ou plusieurs variables x, indexées par un ou plusieurs paramètres θ inconnus.

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La méthode des moindres carrés permet de sélectionner parmi ces fonctions, celle qui reproduit le mieux les données expérimentales. On parle dans ce cas d’ajustement par la méthode des moindres carrés.

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Si les paramètres θ ont un sens physique la procédure d’ajustement donne également une estimation indirecte de la valeur de ces paramètres. 4

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La méthode consiste en une prescription (initialement empirique) qui est que la fonction ƒ (x;θ) qui décrit « le mieux » les données est celle qui minimise la somme quadratique des déviations des mesures aux prédictions de ƒ (x;θ) .

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Si par exemple, nous disposons de N mesures, (yi) avec i = 1, N, les paramètres θ