Précis de géométrie

Pages: 11 (2561 mots) Publié le: 12 mai 2011
RAPPELS DE GÉOMETRIE (sans didactique)

Des animations avec applets java illustrant différentes parties de ce document sont disponibles à cette adresse : http://dpernoux.free.fr/ExPE1/anim.htm Les constructions géométriques élémentaires avec une règle non graduée et un compas ne sont pas rappelées dans ce document mais on les trouve ici : http://perso.orange.fr/pernoux/conselem.pdf Et desanimations en ligne reproduisant toutes ces constructions sont disponibles à cette adresse : http://pernoux.perso.orange.fr/main.htm#cons

Sommaire de ce document :

Remarques préalables I Formules pour calculer des aires II Quelques propriétés utiles pour bâtir une démonstration III Formules permettant de calculer des volumes de solides : IV Définitions et propriétés concernant les angles VIQuelques théorèmes VII Autres définitions et propriétés VII Propriétés concernant le triangle VIII Compléments divers IX Transformations géométriques

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D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

Remarques préalables : 1°) Il a trois types d’objets géométriques : les lignes, les surfaces et les solides(certains termes comme « triangle », « carré », « polygone », etc. sont ambigus et désignent parfois des lignes et parfois des surfaces) 2°) Il faut faire très attention aux notations :
[AB] désigne le segment (fermé) d'extrémités A et B (c'est un ensemble de points) (AB) désigne la droite passant par les points A et B (c'est un ensemble de points) [Ax) désigne une demi-droite (fermée) d'origine lepoint A (c'est un ensemble de points) AB désigne une longueur (ce n'est pas un ensemble de points). On peut également noter cette longueur d(A,B).

I Formules pour calculer des aires : Aire du triangle : C A=
BC AH 2

B Aire du disque :

H A= R 2 (ne pas confondre avec L=2 R, longueur d'un cercle) B A h A = AB × h C D B A I D B A C D J C
AB DC h IJ h (avec I milieu 2 de [AD] et J milieu de[BC]

Aire du parallélogramme :

h

Aire du trapèze :

A=

Aire du rectangle :

A = AB × BC

Aire du losange :

A D

B C A=
AC DB 2

Aire du carré : c

c c

c

A = c²

Aire de la sphère : A = 4 R² (ne pas confondre avec V =
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4 3 R pour le volume) 3
D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

II Quelques propriétés utiles pour bâtir une démonstrationgéométrique (très important) 1°) Principe Considérons les affirmations suivantes : P1 : (AB) (DC) et (AD) (BC) P2 : (AB) (DC) et AB = DC P3 : AB = DC et AD = BC P4 : [AC] et [BD] ont même milieu A B

D

C

On démontre que chacune de ces affirmations, prise isolément, est équivalente à l’affirmation P suivante : le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Bien comprendre ce que ceci signifie : direque l’affirmation P3 est équivalente à l’affirmation « le quadrilatère ABCD est un parallélogramme » c’est, non seulement, dire, que, pour tout parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur deux à deux mais c’est aussi dire que tout quadrilatère qui a des côtés opposés de même longueur deux à deux est un parallélogramme. Bâtir une démonstration va consister à enchaîner des propriétés :si, à un certain moment, on sait, par exemple, que P3 est vérifiée (autrement dit si on sait que AB = DC et AD = BC), on pourra en déduire que ABCD est un parallélogramme. A l’étape suivante, on pourra en déduire que P1, par exemple, est vérifiée, autrement dit que (AB) (DC) et (AD) (BC). La démonstration aura donc consisté à enchaîner deux théorèmes : Premier théorème (P3 P) : si un quadrilatère ades côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c’est un parallélogramme. Deuxième théorème (P P1) : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Il est donc important de connaître pour diverses figures élémentaires une liste de propositions équivalentes 2°) Listes de propositions équivalentes a) Liste de propositions équivalentes à la...
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