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Pages: 5 (1064 mots) Publié le: 5 janvier 2013
PROBLEME SUR LES PROJECTIONS DE L’HELICE
R. FERREOL ferreol@mathcurve.com

PRELIMINAIRES


L’espace affine euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé
→ →

direct


( O, i , j , k ),








d’axes

Ox,


Oy,


Oz.

Le

produit

scalaire

de

deux

vecteurs

u et v est noté ( u

v ) etleur produit vectoriel u ∧ v .

On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques :

x = R cos t y = R sin t z = ht
L’objet de ce problème est d’étudier les projections orthogonales et coniques planes de (H). La partie III est indépendante des deux premières parties. où R et h sont deux constantes > 0.

PARTIE I : Formules de projection orthogonale.

1)

Soit n unvecteur de norme égale à 1, de coordonnées (a, b, c) avec c ≥ 0 et soit (P) le plan affine passant par O et orthogonal à n , associé au plan vectoriel P . Soit p la projection affine orthogonale de E sur le plan (P), et (C) la courbe plane image de (H) par p. Quelle est la nature de la courbe (C) lorsque (P) est le plan xOy ?
→ →



Tournez la page S.V.P.

–2–
2) On suppose dorénavant que(P) est différent du plan xOy. Comment se traduit cette condition sur les nombres a, b, c ? On désigne par p la projection vectorielle associée à p (par conséquent p point M de E). a) Donner une formule exprimant p ( x ) en fonction de x et de n , pour tout vecteur x de E. b) En déduire la matrice de p dans la base ( i , j , k ). c) Quelle relation existe-t-il entre les lignes L1, L2 , L3 decette matrice ?
→→ 2
→ → → → →→ → → → →
→    →   OM = O p→ ) pour tout (M  

3)

4)

a) Calculer p ( k )


en simplifiant l’expression au maximum.


→→

p (k) b) On pose I = → → p (k)

et on définit le vecteur J de façon à ce que ( I , J , n ) soit une base

→ → →

orthonormée indirecte de E. Sans utiliser les coordonnées, montrer que J est dans l’intersection du planP et du plan engendré par i et j . c) Calculer les coordonnées de J dans la base ( i , j , k ). 5) Soit P la matrice de passage de ( i , j , k ) à ( I , J , n ). a) Que dire a priori de cette matrice ? b) Donner son expression générale en fonction de a, b, c. c) Déduire de a) et b) les expressions de i , j , k en fonction de I , J et n , puis celles de
→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →→

p ( i ) , p ( j ) , p ( k ) en fonction de I et J .
→ → →

→ →

→ →





6)

Un point M de coordonnées (x, y, z) dans ( O, i , j , k ) se projette par p en N de coordonnées (X, Y) dans le repère ( O, I , J ) de (P). Déduire de 5 c) les formules exprimant X, Y en fonction de x, y et z.
→ →

PARTIE II : Étude des projections orthogonales de l’hélice.
Soit θ0 le réel définimodulo 2π par cos θ0 = Quel angle géométrique θ0 mesure-t-il ? 2) Montrer que des équations paramétriques de la courbe (C) dans le repère ( O, I , J ) sont données par les X = dht − cR cos( t − θ0 ) où l'on a posé d = a 2 + b 2 . formules Y = R sin ( t − θ 0)
→ →

1)

a a 2 + b2

, sin θ0 =

b a2 + b2

.

–3–
3) 4) Quelle est la nature de (C) lorsque le plan (P) contient l'axe Oz ?Montrer que si l'on fixe le réel c, les diverses courbes (C) sont translatées les unes des autres à l'intérieur du plan (P), rapporté au repère ( O, I , J ). On ne restreint donc pas la généralité en supposant que dorénavant θ0 = 0 (donc b = 0 et d = a > 0). 5) a) Montrer que la courbe (C) possède des points singuliers (ou "stationnaires") si et seulement si ah = cR. b) Montrer que cette dernièrecondition est équivalente au fait que le vecteur n soit parallèle à l'une des tangentes à l'hélice (H). Jusqu'à la fin de la question 5), on supposera que ah = cR. c) Calculer a et c en fonction de h et R. d) Étudier la courbe (C) (Montrer qu'on peut réduire l'intervalle d'étude à − π / 2 , π / 2 , et étudier les variations). e) Tracer la courbe (C) pour R = 3 et h = 4 dans le repère ( O, I , J...
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