´ ´ Ondes Electromagnetiques

Propagation sur les lignes de transmission
1 Introduction
→ − − → Etude th´orique : E , H e En pratique on pr´f`re I,V ee En haute fr´quence i(x, t),v(x, t) e Le long des lignes de transmission on a un mode TEM, avec Ox la direction de propagation. On peut ´tablir une analogie avec les lignes bifilaires. e Les grandeurs caract´ristiques sont : e • la self-inductance lin´ique L (H.m−1 ), li´e ` l’´nergie magn´tique. e e a e e −1 • la capacit´ lin´ique C (F.m ), li´e ` l’´nergie ´lectrostatique. e e e a e e • la r´sistance lin´ique R (Ω.m−1 ), li´e aux pertes dans les conducteurs. e e e • la conductance lin´ique G (S.m−1 ), li´e aux pertes dans les di´lectriques. e e e On a donc le circuit suivant le long d’un tron¸on de longeur ∆x c

2
2.1

Equations g´n´rales de propagation e e
Mise en ´quation e

´ ´ Ondes Electromagnetiques- Chap 7: Propagation sur les lignes de transmission– TELECOM 1A (r0ro)

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Th´orie de Kirchhoff e v(x, t) = v On pose : i(x, t) = i v(x + ∆x, t) = v + ∆v i(x + ∆x, t) = i + ∆i ∆x ∆x ∂i ∆x ∂(i + ∆i) ∆x v + ∆v = v − R i−L −L −R (i + ∆i) 2 2 ∂t 2 ∂t 2 Au premier ordre on obtient : ∆x ∆x ∂i ∆x ∂i ∆x ∆v = −R i−L − − −R i 2 2 ∂t 2 ∂t 2 donc ∂i ∆v = −R∆xi − L∆x ∂t De la mˆme mani`re on a : e e ∂v i + ∆i = i − G∆xv − C∆x ∂t donc ∂v ∆i = −G∆xv − C∆x ∂t ∆v ∂v ∆i ∂i → ∆x → 0 , → ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x ∂x  ∂i  ∂v  = −Ri − L (1) ∂x ∂t ∂i ∂v   = −Gv − C (2) ∂x ∂t 2 ∂i ∂2i ∂(1) ∂ v : = −R −L ∂x ∂x2 ∂x ∂x∂t ∂(2) ∂ 2 i ∂v ∂2v : = −G −C 2 ∂t ∂x∂t ∂t ∂t d’o` u ∂2v ∂v ∂v ∂2v = −R(−Gv − C ) − L(−G −C 2) 2 ∂x ∂t ∂t ∂t ∂2v ∂2v ∂v = LC 2 + (RC + LG) + RGv 2 ∂x ∂t ∂t Equation de propagation de mˆme e ∂2i ∂2i ∂i = LC 2 + (RC + LG) + RGi 2 ∂x ∂t ∂t Si la propagation se fait sur une ligne sans pertes (R=0, G=0) on aura : ∂2v ∂2v = LC 2 2 ∂x ∂t

2.2

Solutions g´n´rales des ´quations de propagation e e e
1 LC 1 − est l’onde O , qui se propage dans le sens des x d´croissants avec la vitesse de propagation vp = √ e LC