Ecole des Mines de Nancy Département Ingénierie Mathématique Mini-projet Equation aux Dérivées Partielles (EDP) Superviseur Projet : Antoine

Henrot

Résolution d'un problème d'EDP dans un milieu fortement anisotrope

Gabin Deleval Nicolas Jeannelle

Nancy, 31 janvier 2012

On s'intéresse à la résolution d'une équation aux dérivées partielles (EDP) elliptique liée aux problèmes de conduction (en thermique, électrostatique...) dans un milieu fortement anisotrope. Dans un premier temps, on cherchera à comparer résolution numérique et résolution exacte, lorsque celle-ci sera permise. A cet eet, on réalisera un certain nombre de tests numériques avec le logiciel MATLAB. Après avoir déterminé la solution exacte du problème et prouvé sa régularité, nous l'évaluerons avec la plus grande précision, et ceci grâce au logiciel MATHEMATICA. Nous chercherons ensuite à comparer solution numérique et solution exacte en introduisant un vecteur mesurant l'erreur entre les deux fonctions. Une représentation en trois dimensions de l'erreur sera par ailleurs donnée. Nous étudierons en détail la notion de conditionnement et la calculerons dans le cadre du problème anisotrope. Nous verrons par ailleurs l'inuence que peut avoir le maillage utilisé par MATLAB sur le conditionnement. Nous nous interrogerons enn sur l'existence d'une solution limite, en faisant tendre le rapport d'anisotropie vers l'inni. A cet eet nous établirons la formulation variationnele du problème et utiliserons un théorème fondamental du cours sur les équations aux dérivées partielles : le théorème de Lax-Milgram. Dans un cas que nous préciserons ultérieurement, nous pourrons borner une suite de 1 fonctions de rapport d'anisotropie croissant et donc par reexivité de H0 (Ω), nous pourrons exhiber une suite qui converge faiblement vers le problème limite. Dans un autre cas nous ne pourrons que conjecturer un résultat par un travail numérique.

Résumé

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Table des matières

1 Introduction du