Devoir pour le 15/10/2013 Exercice 1 Les questions 1°/ et 2°/ sont indépendantes. 1°/ Pour démontrer que pour tout n ∈ ℕ*, 12+22+…+n2 ≤ n3, Louis a fait une jolie démonstration par récurrence. a) Retrouver la démonstration de Louis. b) Expliquer le commentaire du professeur : « Correct, mais bien maladroit ! » 1 1 1    2°/ La suite u est définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par u n  1  . Thomas se moque 2 3 n de Clémence parce qu'elle lui assure que cette suite tend vers + ∞. A-t-il raison de se moquer ? Quelle est la limite de cette suite ? Pourquoi ? Exercice 2 : QCM Pour chacune des questions suivantes, indiquez la bonne réponse en justifiant votre choix pour les questions 1°/ et 2°/. 1°/ On considère deux événements A et B tels que p(A)=0,8 et pA(B)=0,75. La probabilité de p(A∩B) est égale à : a) 0,6 b) 0,4 c) 0,2 2°/ Lors de la fête de l'école l'association des parents d'élèves a proposé le jeu suivant : Une urne contient 10 boules : 8 rouges et 2 bleues. Un enfant de l’école tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne. • Si aucune boule n'est bleue, la partie est perdue. • Si une seule des deux boules est bleue, il gagne un cadeau. • Si les deux boules sont bleues, il gagne deux cadeaux. La probabilité que l’enfant gagne un cadeau sachant que la première boule tirée n’est pas bleue est : 2 8 2 a) b) c) 7 45 9 3°/ On considère les suites (un), (vn) et (wn) définies ainsi : n2  1 1 1 Pour n ≥ 1, u n  . Pour tout entier naturel n,  et v n  n n n A/ une seule des trois suites est majorée, laquelle ? a) un b) vn B/ Cette suite est majorée par : 1 a) b) 0 4 4°/ La fonction f est définie sur La suite (un) est : a) croissante

w 0  2   w n 1  2 w n  1

c) wn c) 0,244

u 0  5 2 par f ( x )   x  1 . Soit (un) la suite définie par  . 3 u n 1  f u n 

b) décroissante

c) n’est pas monotone

Exercice 3 Une agence de voyage propose exclusivement deux destinations que l'on désigne par A et M. 70 % des clients