Simmulation d'un processus de ruine

Pages: 7 (1603 mots) Publié le: 1 septembre 2013
Math´ematiques de l’assurance
Simulation de processus de ruines
Younes ATSAMNIA
Dian KANF
Enseignant : Philippe SOULIER
Table des matieres
1 Introduction et presentation des donnees 2
2 Modelisation des inter-arrivees 2
3 Modelisation du co^ut des sinistres 6
4 Probabilite de ruine 8
1 Introduction et presentation des donnees
Ce rapport a pour but d'etudier les incendiesindustriels au Danemark entre le 1er
janvier 1980 et le 31 decembre 1990. Dans un premier nous modeliserons les inter-arrivees
puis les co^uts des sinistres pour en n pouvoir calculer la probabilite de ruine de la com-
pagnie d'assurance.
Le chier d'origine contient la date et le co^ut de chaques sinistres. Quelques modi -
cations ont ete apportees a ce chier :
{ Le premier janvier1980 correspond a la date 0.
{ Si plusieurs sinistres ont eu lieu a la m^eme date, on ne compte qu'un seul sinistre
ayant pour co^ut la somme des co^uts de chaques sinistres.
2 Modelisation des inter-arrivees
Les inter-arrivees sont le temps separant deux dates successives de sinistres. Notons
Ti la suite des dates des ieme sinistres. On a donc la suite Ei des inter-arrivees de nie
par:
Ei = Ti Ti1
Notons N(t) le processus de comptage des sinistres c'est a dire le nombre de sinistres
entre la date 0 et t. N(t) veri e donc les proprietes suivantes :
{ A valeurs entieres
{ Les trajectoires sont des fonctions croissantes
{ Constantes par morceaux
{ De saut tous egaux a 1
On peut donc en deduire :
N(t) = n , Tn  t < Tn+1
Le graphe suivant representeN(t) pour tallant de 0 a 50.
2
Figure 1 { Nombre de sinistres en fonction du temps entre t=0 et t=50
Nous savons que si les inter-arrivees Ei suivent une loi exponentielle de parametre 
alors le processus de comptage N(t) suit un processus de poisson de parametre t  
Nous allons donc tester si les inter-arrivees peuvent ^etre modelisees par une loi ex-
penentielle. Dans un premier temps nousdevons trouver le parametre . Or nous savons
que si X  () :
E(X) =
1

On peut donc estimer  par l'inverse de la moyenne empirique des inter-arrivees. Avec
nos donnees nous trouvons :
 = 0:4095
Le graphe suivant represente un N(t) en ayant simule les inter-arrivees suivant une
loi exponentielle de parametre  = 0:4095
3
Figure 2 { Nombre de sinistres en fonction du tempsentre t=0 et t=50
Les deux graphes semblent bien correspondre. Pour con rmer cela nous e ectuons un
test d'adequation du khi2. C'est a dire que nous testons l'hypothese H0 contre H1 :
H0 : Les donnees suivent une loi exponentielle de parametre  = 0.4095
H1 : Les donnees ne suivent pas une loi exponentielle de parametre  = 0.4095
Nous devons calculer la distance suivante :
XC
i=1
(empithi)2
thi
Ou :
{ C represente le nombre de classes
{ empi represente le nombre de donnees dans la classe Ci
{ thi represente le nombre theorique d'elements dans la classe Ci
Nos inter-arrivees etant a valeur entieres, nous decidons de de nir nos classes de la
maniere suivante :
Ci = fE telles que i 0:5  E < i + 0:5g8i 2 [1; 24]
4
C25 = fE telles que E > 24:5g
Nousavons donc 23 degres de libertes (25-1-1 parametre estime). Nous trouvons une
distance de 115.72. Nous rejettons donc a plus de 99.99 % H0.
A n de nous aider a trouver la loi de nos inter-arrivees, le graphe suivant nous donne
un histogramme normalise.
Figure 3 { Histogramme des inter-arrivees
Ce graphe ressemble fortement a la densite d'une loi geometrique. Nous allons donc
tester siles inter-arrivees suivent une loi geometrique de parametre p. Dans un premier
temps nous devons estimer p. Or nous savons que si X  G(p) :
E(X) =
1
p
Comme pour la loi exponentielle nous allons estimer p par l'inverse de la moyenne em-
pirique. Nous avons donc p=0.4095. La distance du khi2 nous donne 22.14. Par consequent
nous acceptons donc le fait que les inter-arrivees suivent...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • État d'un processus
  • Amélioration d'un processus
  • Analyse d'un processus
  • Application d'un processus d'évaluaition
  • Processus d'élaboration d'un programme de santé
  • Psychologie commerciale: exemple d'un processus décisionnel
  • Objet d’étude processus d'une loi et d'un reglement
  • Sujet : l’euro : efficacité d’un processus en voie d’aboutissement ?

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !