TPE Fractale

Pages: 9 (2032 mots) Publié le: 3 janvier 2015




LES FRACTALES

FRÉDÉRIC VIVIEN
LYCÉE PIERRE CORNEILLE










Une structure fractale est une structure géométrique qui se répète, semblable à elle-même, quelle que soit l'échelle à laquelle on l'observe ; on parle alors de similitude interne.
Les ensembles fractals jouent un rôle central dans de très diverses théoriesscientifiques. Il s'agit, par exemple, de la forme des nuages ou des pépites d'or, de celle des côtes maritimes ou des hautes montagnes, de la répartition des galaxies dans l'espace ou encore de la turbulence ou du chaos. La musique, elle aussi, se trouve avoir des facettes fractales.

L'histoire des fractales ainsi que le nom fractale commence en 1975 avec Benoît Mandelbrot à partir de son essai LesObjets Fractals : forme, hasard et dimension (dont il est donné en [4] une autre édition) mais les premières figures fractales connues datent de la fin du XIXème siècle. La première est dû à Karl Weierstrass qui l'inventa en 1872 pour montrer, par une construction explicite, qu'une fonction continue n'a pas nécessairement de dérivée.

Quelques exemples de courbes fractales ; les monstres fractals La courbe de von Koch

L'exemple le plus célèbre de courbe fractale est celui du flocon de neige de Helge von Koch, mathématicien suédois qui la publia pour la première fois en 1904 et la décrivit comme "courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire.
A partir d'un segment de longueur un, remplaçons le tiers central par deux segments de même longueurque lui. Au bout de cette première étape, nous obtenons une nouvelle figure. Nous pouvons itérer ce procédé indéfiniment en subdivisant chaque fois les segments en trois parties dont la partie centrale est remplacée par deux segments de même longueur qu'elle. Cette courbe est autosimilaire et donc fractale car elle reste identique à elle même quand on la dilate avec un grossissement égal à unepuissance de trois.

La figure suivante montre les cinq premières étapes de la construction de la courbe de von Koch.












La figure formée de trois courbes de von Koch placées comme sur la figure ci-dessous permet d'obtenir ce que l'on appelle le flocon de neige de von Koch.













Il a la propriété d'être de longueur infinie mais l'aire qu'il délimite vautseulement de la surface du triangle de départ. En effet, à chaque étape de la construction, chaque côté de la figure est remplacé par une figure de longueur fois plus grande. Le processus répété indéfiniment prouve que la longueur du flocon devient infinie. En comptant la surface des triangles créés à chaque étape, on peut démontrer également, par un simple raisonnement, par récurrence, que lasurface de la courbe engendrée après n constructions est égale à où A0 représente l'aire du triangle équilatéral initial. Ainsi, par passage à la limite, le flocon de von Koch délimite une surface finie.

 Le triangle de Sierpinski

Cet ensemble fractal utilise comme figure de départ un triangle équilatéral. En utilisant les milieux de ses côtés, on définit ainsi un nouveau triangle centralque l'on enlève au triangle initial permettant d'obtenir la figure après la première étape. Il suffit d'appliquer ce procédé aux trois triangles restants pour obtenir la figure suivante. En itérant ce procédé une infinité de fois, on obtient ainsi le triangle (ou fanion) de Sierpinski que l'on retrouve dans la manipulation «Coloriages fractals» de l'exposition qui utilise des propriétés du trianglede Pascal.









 La longueur de la côte de Bretagne

On peut distinguer la similitude des mathématiciens, rigoureuse, et la similitude statistique. Par exemple, lorsque l'on observe la côte de Bretagne à très haute altitude, elle apparaît très dentelée avec une succession ininterrompue de promontoires et de baies. Lorsque l'altitude diminue, la perspective évolue, mais l'aspect...
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