trigo

Pages: 8 (1904 mots) Publié le: 10 mars 2015
TRIGONOMÉTRIE ET FONCTIONS CIRCULAIRES

I) Le radian
Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l'angle plat (180°) mesure p radians.
Ainsi, un arc de cercle de rayon R et d'angle a (en radians) a pour longueur : L = aR
Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de x degrés en un angle de a radians
(ou inversement).
degrés

180

x

radians

pa

Exemple : convertir 60° en radians : cela donne a =

L = Ra
R

60p p
= rad.
180
3
H

J

II) Cercle trigonométrique et définition du sinus, du cosinus et de la tangente
Munissons le plan d'un repère orthonormé (O ; I, J). Le cercle trigonométrique est le

tan

M

sin a

cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles
a

d'une montre). Soit M un point ducercle tel que a soit une mesure, en radians, de
uur uuuur
l'angle orienté OI , OM .

(

cos a

O

)

Définition du sinus et du cosinus :
On appelle cosinus et sinus de a, et on note cos a et sin a, les coordonnées du point
®
®
®
M dans le repère (O ; I, J) : OM = (cos a ) OI + (sin a ) OJ .

J'

Définition de la tangente :
Soit D la droite (verticale) d'équation x = 1 dans le repère (O ; I, J)et H le point défini par (OM) Ç D.
Ce point H existe dès lors que D et (OM) ne sont pas parallèles, c'est-à-dire dès que M n'est ni en J(0 ; 1), ni en
J'(0 ; -1), c'est-à-dire dès que a ¹

p
+ 2kp (k Î ).
2

On appelle tangente de a, et on note tan a, l'ordonnée du point H dans le repère (O ; I, J)
Le tableau ci-dessous rappelle les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente pour des valeursparticulières de
l'angle a (en radians) :
p
6
1
2

p
4

p
3

2
2

1

3
2

2
2

3
2
1
2

0

3
3

1

3

a

0

sin a

0

cos a
tan a

Trigonométrie et fonctions circulaires

Page 1

p
2
1
0
NON DÉFINIE !

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

I

Démonstration :
Pour calculer les valeurs de sin

p
p
et cos , on exploite la diagonale du carré (de côté 1) :
4
4
D

C

2

1

p
4
A

B

1

Dans letriangle ABC rectangle en B, on a :sin

1
p BC
2
=
=
=
4
2
AC
2

cos

AB
1
p
2
=
=
=
AC
4
2
2
tan

p BC
=
=1
4
AB

Pour calculer les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente de

p
p
et
, on exploite naturellement la
3
6

configuration du triangle équilatéral de côté 1 avec une de ses hauteurs qui au passage d'après le théorème de
2

3
æ1ö
Pythagore mesure 12 - ç ÷ =
:
2
2
è ø

C

p
6

1

3
2

p
3A

1

H

B

2

Dans le triangle AHC rectangle en H, on a :
1
3
1
p AH
1
p CH
p AH
3
sin =
=
; cos =
=
; tan =
= 2 =
=
6
AC 2
6
AC
2
6 CH
3
3
3
2
3
3
p CH
p AH
1
p CH
2
sin =
=
; cos =
=
; tan =
=
= 3
1
3
3
3
AC
2
AC 2
AH
2
Trigonométrie et fonctions circulaires

Page 2

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Pour les autres cas d'angles remarquables, on retrouve les valeurs du sinus, du cosinus etde la tangente par
symétrie comme l'illustre le cercle(1) ci-dessous :

p
2

p
3

3
2

p
4

2
2

Propriétés élémentaires du sinus et du cosinus :

p
6

1
2

cos(x + 2kp) = cos x
sin(x + 2kp) = sin x
cos2x + sin2x = 1

p

0
1
2

–1  cos x  1

2
2

–1  sin x  1

Exercice : sachant que cos

p
=
12

6+ 2
p
, calculer la valeur exacte de sin .
4
12

C'est un exercice qui n'est pas si simple !Déjà, nous disposons d'une relation entre le sinus et le cosinus :
2

2

cos x + sin x = 1
En particulier, avec x =
2

Calculons cos

p
:
12

p
:
12

D'où :

2 p
p
+ sin
=1
12
12

2

2

cos

sin

(Remarque :

æ 6 + 2ö
p
6 + 2 12 + 2 2 + 3
÷ =
= ç
=
4
16
4
12
ø
è
2

2 p
p
2+ 3 2- 3
= 1 - cos
=1=
4
4
12
12

2- 3
est bien un nombre positif puisque 2 > 3 )
4

Tenant compte de la relation

Or, sin

2

cosA 2 = |A|, nous obtenons :
| sin

p
|=
12

sin

p
=
12

p
p
 0 car
Î [0 ; p]. Donc :
12
12

2- 3
4
2- 3
4

Enfin, n'y a-t-il pas une écriture plus simple ?
Dans ce cas, oui ! En effet :

4 - 2 3 = 1 - 2 3 + 3 = (1 - 3 )
2-

Donc :
Et

sin

Et comme

(1)

3>1:

sin

(1 - 3)
3=

2

2

2

1- 3
p
=
12
2 2

1- 3
p
3 -1
=
=
=
12
2 2
2 2

6- 2
4

Pour un cercle trigonométrique complet, voir :...
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