D´rivation des fonctions num´riques e e
Z, auctore 6 d´cembre 2005 e

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D´finition e

Pour une fonction f d´finie sur un intervalle I contenant une valeur x0 , e si le taux de variation de f entre x et x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 poss`de une limite finie a lorsque x tend vers x0 , alors on dit que e – la fonction f est d´rivable en x0 , e – le nombre d´riv´ de f en x0 est a. On le note f (x0 ) = a. e e On retiendra la d´finition e f (x0 ) = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0

valable lorsque cette limite existe. En introduisant la diff´rence h = x − x0 , e cette d´finition s’´crit e e f (x0 ) = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0 ) . h

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Interpr´tation g´om´trique e e e

Le nombre d´riv´ en x0 d’une fonction f , d´rivable en x0 , est ´gal au e e e e coefficient directeur de la tangente (D) ` la courbe repr´sentative de f a e en x0 . Avec f (x0 ) = a, l’´quation de (D) est donn´e par e e y = a(x − x0 ) + f (x0 ). Une fonction f n’est pas d´rivable en x0 lorsque sa courbe repr´sentative e e admet en ce point une tangente parall`le ` l’axe des ordonn´es. e a e 1

Vade-mecum sur la d´rivation e

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D´riv´es usuelles e e

Fonctions affines. Soit f : x → a x + b. Alors, pour tout x, f est d´rivable e et on a f (x) = a. En particulier, la d´riv´e de la fonction f : x → x est f (x) = 1 pour tout x. e e Fonctions puissances. Deux cas particuliers avant le cas g´n´ral. e e 2 – Soit f : x → x . Alors, pour tout x, f est d´rivable et on a e f (x) = 2 x. – Soit f : x → x3 . Alors, pour tout x, f est d´rivable et on a e f (x) = 3 x2 . – Soit f : x → xn avec n ≥ 1. Alors, pour tout x, f est d´rivable et on a e f (x) = n xn−1 . 1 Fonction inverse. Soit f : x → . Alors, pour tout x = 0, f est d´rivable e x et on a −1 f (x) = 2 . x Fonctions puissances bis. O` l’on consid`re les inverses des puissances. u e 1 e – Soit f : x → 2 . Alors pour tout x = 0, f est d´rivable et on a x f (x) = – Soit f : x → −2 . x3

1 . Alors pour tout x = 0, f est