Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir Département de Génie Energétique

Turbulence
Chapitre 3 : Transition vers la Turbulence

EN2
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AU 2006-2007

III.1.Instabilités
Les instabilités sont directement associées au terme non-linéaire inertiel de l’équation de Navier Stokes et sont les ingrédients essentiels de la turbulence. une instabilité est une bifurcation dans la solution d’une équation non linéaire qui s’opère pour une certaine valeur d’une paramètre de contrôle (ou d’ordre). Pour l’équation de Navier Stokes c’est le nombre de Reynolds qui joue le rôle du paramètre d’ordre. Il existe grosso-modo deux familles de bifurcations modèles qui sont d’une grande importance pour les écoulements. Il s’agit des bifurcations supercritiques et sous-critiques. Pour la bifurcation super-critique, la solution stable de l’équation passe de stationnaire à instationnaire à Re critique (cas des sillages). Pour la bifurcation sous-critique, la branche stationnaire existe toujours au dessus de Re critique mais elle est instable et donc non observable (CL et écoulements dans les conduites).

diagramme de bifurcations, les branches correspondant aux solutions stables sont en traits continues, les branches instables en pointillé. A représente l’amplitude du mode périodique qui devient instable pour Re > Recritique
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Exemple de critère de stabilité en 2D : critère de Rayleigh En écoulement non visqueux (ν = 0), le théorème du point d’inflexion de Rayleigh énonce que tout profil de vitesse ayant un point d’inflexion avec changement de signe est potentiellement instable.
Stabilité suivant les différentes profils de vitesse en écoulement parallèle. (a) et (b) ne présentent pas de point d’inflexion et sont stables. (c) présente un point d’inflexion mais comme , le profil est stable. Seul (d) est potentiellement instable.

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III.1.1. Instabilités sous critique
Pour les écoulements dans les conduites, la transition est brutale et imprévisible car elle a un