Vibrations & ondes

Pages: 13 (3189 mots) Publié le: 18 février 2013
Chapitre 6 Généralités sur les phénomènes de propagation
6.1
6.1.1

Propagation à une dimension
Equation de propagation

Dans les phénomènes vibratoires traités dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés à des phénomènes ou des grandeurs physiques qui dépendaient d’une seule variable, le temps. Nous allons maintenant examiner toute une une série de phénomènes qui sontdécrits par une fonction qui dépend à la fois du temps t et d’une variable d’espace , x par exemple. Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation d’onde ou équation de propagation à une dimension de la forme : 1 ∂2s ∂2s − =0 ∂x2 V 2 ∂t2 dans laquelle V est une grandeur physique qui a les dimensions d’une vitesse et sera appelée dans la suite vitesse depropagation.

6.1.2

Solution de l’équation de propagation

Méthode de D’Alembert Pour résoudre l’équation des ondes à une dimension, opérons le changement de variable suivant : x η = t− V x ξ = t+ V Calculons les dérivées partielles par rapport à t et x, en fonction des dérivées partielles par rapport à η et ξ. Sachant que : ∂η = ∂ξ = 1 et que ∂t ∂t ∂ξ 1 ∂η =− = ∂x ∂x V on obtienthttp://www.usthb.dz/cours/cours_djelouah/

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6.1 Propagation à une dimension

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∂s ∂η ∂s ∂ξ ∂s ∂s ∂s = + = + ∂t ∂η ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂ξ ∙ ¸ ∂s ∂η ∂s ∂ξ 1 ∂s ∂s ∂s = + = − ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂x V ∂η ∂ξ En tenant compte de ces résultats et sachant que ∂2s ∂2s = ∂η∂ξ ∂ξ∂η on obtient : ∂2s ∂2s ∂2s ∂2s + 2 = −2 ∂t2 ∂η2 ∂η∂ξ ∂ξ ∙ 2 ¸ 2 ∂2s 1 ∂ s ∂2s ∂ s + = −2 ∂x2 V 2 ∂η 2 ∂η∂ξ ∂ξ 2
s ∂ En remplaçant dans l’équationd’onde ∂ 2 et ∂xs par les expressions ci-dessus, on obtient 2 ∂t l’équation d’onde exprimée en fonction des dérivées partielles par rapport aux variables η et ξ : ∂2s =0 ∂η∂ξ Cette dernière équation peut s’écrire ∙ ¸ ∂ ∂s =0 ∂ξ ∂η
2 2

Un intégration par rapport à ξ donne : ∂s = f (η) ∂η où f (η) est une fonction qui ne dépend que de η (et pas de ξ). Enfin une intégration par rapport à η donne : s (η,ξ) = F (η) + G (ξ) où F (η) , qui ne dépend que de η, est une primitive de f (η). La fonction G (ξ) est une fonction qui ne dépend que de ξ. En revenant aux variables x et t, on obtient la solution générale de l’équation des ondes à une dimension : ³ ³ x´ x´ +G t+ s (x, t) = F t − V V ¡ ¢ ¡ ¢ x x Les fonctions F t − V et G t + V sont des fonctions dont la nature est fixée par les conditions auxfrontières imposées à la solution s (x, t).

http://www.usthb.dz/cours/cours_djelouah/

6.1 Propagation à une dimension

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¡ ¢ ¡ ¢ x x Propriétés des solutions particulières F t − V et G t + V ¢ ¡ ¢ ¡ x x On étudie le cas de la solution particulière F t − V . Pour Propriétés de F t − V ¡ ¢ x cela on suppose que les conditions aux frontières sont telles que G t + V est constamment nulle.On considère à l’instant t1 un point d’abscisse x1 . La valeur de la fonction s en ce point et à cet instant est s (x1 , t1 ). On recherche à un instant t2 postérieur à t1 (t2 > t1 ) la position x2 d’un point pour lequel la valeur de s est la même que la valeur qu’elle avait en x1 à l’instant t1 . Ce problème est formulé par l’égalité suivante : s (x1 , t1 ) = s (x2 , t2 ) Ce qui se traduit parCette équation est satisfaite si D’où la valeur de x2 : x2 = x1 + V (t2 − t1 ) Comme t2 > t1 , x2 est supérieure à x1 et ces deux points sont distants de x2 − x1 = V (t2 − t1 ) ³ ³ x1 ´ x2 ´ = F t2 − F t1 − V V t1 − x1 x2 = t2 − V V

¡ ¢ x F t − V correspond à une onde se propageant dans le sens des x croissants (Voir la ¡ ¢ x figure ci-dessous). F t − V est appelée onde progressive et cetteexpression constituera dans la suite la définition d’une onde progressive.
Direction de propagation

t=t1
x1 x2

x

t=t2>t1
x1 x2

x

x2-x1=V(t2-t1)

¡ ¢ ¡ ¢ x x Propriétés de G t + V On étudie le cas de la solution particulière G t + V . Pour ¡ ¢ x cela on suppose que les conditions aux frontières sont telles F t − V est constamment nulle. On considère à l’instant t1 un point...
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