Voici le corrigé d'un exercice de maths

4487 mots 18 pages
CHAPITRE

2
Exercice 1

Équations différentielles y’ = ay + b
(page 38) Réponses a) f ’ (x) = e x. 1 b) f ’ (x) = – 3e x. 2 x 1 c) f ’ (x) = e 2 . 3 2 d) f ’ (x) = 2e–x. 4 Prérequis testés Calculer une dérivée.

1 Prérequis : « Vérifier les acquis »

2

Connaître la fonction f telle que f ’ = af et f (0) = 1.

1. a) f (x) = e x. b) f (x) = e3x. 2. f (x) = e ax.
a) a = – 1. Savoir reconnaître une solution d’une équation . b) a = – 1 différentielle. 2 c. a = 2. a) f ’(x) = 2e 2x b) f ’(x) = 3e3x c) f ’(x) = 2e2x d) f ’(x) = 8e2x et et et et 2f (x) + 3 = 2e2x. f est solution. 2f (x) + 3 = 2e3x + 7. Non, f n’est pas solution. 2f (x) + 3 = 2e2x + 9. Non, f n’est pas solution. 2f (x) + 3 = 8e2x. f est solution.

3

Déterminer le coefficient a tel que f ’ = af et f (0) = 1 par lecture graphique de la courbe de f.

3

Savoir reconnaître une solution d’une équation différentielle.

2 Objectifs
• Connaître les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b. • Connaître des exemples de modélisation. • Connaître des exemples de mise en équation d’un problème. • Appréhender le rôle des mathématiques dans d’autres disciplines, en particulier la physique.

– k t – k t k k Ainsi v’(t) + m v(t) = m × vl (e m + 1 – e m ) ρ k = m × vl = g 1 – ρ . s

(

)

Donc v est solution de (1). Par ailleurs, v(0) = vl (1 – e0) = 0. c) v’(0) = vl × k × e0 = vl × k . m m L’équation de la tangente à la courbe de v en O est k y = v’(0) × x soit y = vl × m × x. Pour trouver τ, on résout le système y = vl k y = vl × m × x. m k Ainsi m × τ = 1 d’où τ = . k d) t ≈ 0,015 s.

3 Activités d’approche

(page 40)

3.1. Étude d’une particule dans un liquide visqueux
1. a) m ≠ 0, mv’ = mg – kv – mg ρ équivaut à s ρ k m ≈ 68,889 et g(1 – ρs ) ≈ 3,267. b) Les particules sont initialement au repos donc v(0) = 0. p k c) Lorsque v’(t) = 0, (1) s’écrit m vl = g(1 – p ), c’est-à-dire s 68,889 vl = 3,267. Donc vl ≈ 0,047. ρ ρ ρ k k v’ = g – m v – g ρ , c’est-à-dire v’ + m v

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