Chapitre 4

Chapitre 4.
Nombre dérivé et dérivées
Activités et applications

Application 2

1. Nombre dérivé en a d’une fonction f

2

Activité
T
1

– 0,5

0,5

2,5

3

3,5

4

4,5

Abscisse a du point

–2

–1

f’(a) = mi

–4

–2

1
2
1

2
4

f(x) = x2. f’(x) = 2x.
2. On a a = 2 f’(a).
3. Les points de coordonnées (a ; f’(a)) appartiennent à la droite d’équation y = 2x.

1

Application 1

0,5

f(x) =

D

ᏼ

2

Activité
1.

1,5

C

1,5

2. Fonctions dérivées

A

–1

1

– 0,5

Application 1

– 1,5

A

0,5

1.

–2

Ᏼ

1,5

f(x ) – f(x ) f(1 + h) – f(1) (1 + h)2 – 1
1. xM – x A =
=
. h (1 + h) – 1
M
A
(1 + 0,5)2 – 1
2. Si h = 0,5,
= 2,5.
0,5
Équation de (AM) : y = 2,5x – 1,5.
(1 + 0,1)2 – 1
Si h = 0,1,
= 2,1.
0,1
Équation de (AM) : y = 2,1x – 1,1.
(1 + 0,02)2 – 1
Si h = 0,02,
≈ 0,02.
0,02
Équation de (AM) : y = 2x – 1.
4. La droite (AM) tend vers une position limite qui est la tangente à ᏼ en A.

1 x (x ≠ 0).

1
.
x2
a) f’(1) = – 1. f’(– 1) = – 1.
1
f’
= – 4.
2
1 f’(2) = – .
4

1. f’(x) = –

– 0,5

0,5

1

1,5

2

– 0,5

2.
b)

–1

c)

– 1,5

d)

–2

΂ ΃

Application 2

B

f(t) = sin (100πt).
1. f’(t) = 100π cos (100πt).
2. a) f’(0) = 100π cos (0) = 100π.
b) f’(2) = 100π cos (200π) = 100π.
1
c) f’
= 100π cos (25π) = – 100π.
4

2. Graphiquement, on lit f’(2) = – 2. Pour calculer f’(– 1), on trace la tangente à la parabole ᏼ au point d’abscisse – 1 et on lit f’(– 1) = 1.

΂ ΃

41

© NATHAN
La photocopie non autorisée est un délit.

Chapitre 4
3. Opérations sur les dérivées

8

f’(2) =

Activité

9 C a) f(x) = 3x – 2 ; f’(x) = 3.

u(x) = x et v(x) = x2. u 1
1. a) p = u · v = x3 ; q = = . v x

b) u’ = 1 ; v’(x) = 2x ; p’(x) = 3x2 ; q’(x) =

b) f(x) = – 2x + 7 ; f’(x) = – 2.
3
3 x ; f’(x) = – .
2
2
b) f(x) = x12 – 3 ; f’(x) = 12.

10 a) f(x) = 5 –

–1
.
x2

u’
.
v’
2. Si v(x) = sin x, on ne peut pas simplifier p et q. Il faut établir des formules pour dériver un produit et un quotient de deux fonctions.

c) p’ ≠ u’ · v’ et q’ ≠

11 a) f(x) = mx ; f’(x) = m.
b) f(x) = mx +