Collège

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BREVET DES COLLEGES 2014
I

EXERCICE 1
1) Agrandissement de l’octogone.
Construction :
Tracer un cercle de centre Q et de rayon 3 cm
Tracer le diamètre [AE]
Puis avec un rapporteur placer le H tel que AQH = 45◦ . De même pour les points G et F .
Enfin par symétrie centrale on obtient les points B, C et D.
On relie les points ABCDEF GH pour obtenir l’octogone demandé.
2) Démontrons que le rectangle DAH est rectangle.

Les points A, H et D étant sur le cercle de centre Q et de rayon R = QH = QG = ... et sachant que [DH] en est un diamètre, d’après le cours :
Un cercle circonscrit à un triangle dont le centre est au milieu de l’hypoténuse est rectangle.
On en conclut que le rectangle DAH est rectangle en A.
3) Calculons la mesure de l’angle BEH.
L’octogone étant régulier, nous aurons BQA = 45◦ , comme [EA] est également un diamètre du cercle circonscrit à l’octogone, nous en déduisons que BEA = 22, 5◦ .
Enfin (EA) étant la médiatrice du segment [BH] nous aurons également AEH = 22, 5◦
En conclusion BEH = 22, 5 + 22, 5 = 45◦

II

EXERCICE 2
1) Expliquons pourquoi le magasin C est plus intéressant.
Avant promotion, le cahier vaut p euros (même prix quel que soit le magasin).
Dans le magasin A, lors du premier achat Léa va payer p euros.
Dans le magasin B elle paiera le premier cahier également p euros.
Dans le magasin C, dès le premier achat, il y a une réduction de 30% donc elle devra payer p−30%p = p(1−0, 3) = 0, 7p.
Comme 0, 7p < p, lors du premier achat, le magasin C est plus intéressant.

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Collège

2) Quel magasin choisir pour :
a) deux cahiers.
Dans la magasin A, Léa devra payer 2 × p euros (il faut attendre d’en prendre 3 pour avoir la promotion).
Dans le magasin B, la facture sera p +

p
= 1, 5p.
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Enfin dans le C, le prix des cahiers sera 2 × 0, 7 × p = 1, 4 × p.
Comme 1, 4p < 1, 5p < 2p, en conclusion le magasin C est encore le plus intéressant.
b) trois cahiers.
Dans le