CHAPITRE 2. FONCTIONS ALÉATOIRES

2.1 Fonctions aléatoires continues
2.1.1 Définition
Une fonction aléatoire scalaire X(t) est, pour toute valeur de t, une variable aléatoire1.
On a donc que X(t1) et X(t2) constituent deux variables caractérisées chacune par une certaine densité de probabilité notée TX(ti)(xi) pour t = ti, qui peut être continue ou discrète. La fonction aléatoire continue X(t) est entièrement décrite par la connaissance des densités de probabilité jointes du type

TX(t1),···,X(tn)(x1,···,xn)

pour toute valeur de n,c’est-à-dire de tout ordre.

2.1.2 Moments
On appelle moyenne de la fonction aléatoire la fonction de tqui pour toute valeur de tdonne la moyenne de la variable aléatoire obtenue à cet instant, soit

mX (t)= E[X(t)]

= xTX(t)(x)dx

X

Le symbôle E signifie espérance mathématique et suppose le calcul de la moyenne de la quantité entre crochets. De façon similaire, la variance est une fonction de tdéfinie par

s2

X (t)= E [X(t) -mX (t)] [X(t) -mX(t)]*

=[x-mX (t)] [x-mX(t)]*
TX(t)(x) dx

X

où * signifie complexe conjugué.

On caractérise aussi les relations de dépendance statistique entre variables aléatoires obtenues en prenant la fonction aléatoire à des instants différents.
On appelle fonction de corrélation RX(t1,t2) la fonction définie par

RX (t1,t2)= E[X(t1)X *(t2)]
# # = x1 x *
2 TX(t1),X(t2)(x1,x2) dx1 dx2
X1 X2

La fonction de covariance GX(t1,t2) correspond à la fonction de corrélation de la fonction aléatoire centrée, soit

GX (t1,t2)= E [X(t1) -mX(t1)] [X(t2) -mX (t2)]*

=[x1 -mX (t1)] [x2 -mX(t2)]*

X1 X2

×
TX(t1),X(t2)(x1,x2) dx1 dx2

Dans la mesure du possible, on utilisera des majuscules pour les grandeurs aléatoires et des minuscules pour les grandeurs certaines ou les