Fiches de TD - SERIES TEMPORELLES

Professeur Georges BRESSON

1ère Année Master Sciences Economiques Mention Ingénierie Economique et Statistique et Mention Monnaie et Finance

Année Universitaire 2009-2010

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TD-1. Processus stationnaires
1. Calculer l’espérance, la variance, la covariance et l’autocorrélation des processus suivants. Conclure sur leur stationnarité et inversibilité. (a) xt = εt − εt−1 (c) xt = xt−1 + εt (d) xt = φ1 xt−1 + εt − θ1 εt−1 . 2. Soit un processus aléatoire εt distribué selon une loi normale N (0, 1). (a) Construire les séries AR(1) et AR(2) simulées définies par:
(

(b) xt = εt εt−1

xt = φ1 xt−1 + εt yt = φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + εt

avec avec

φ1 = 0.4, −0.4 et 0.95 φ1 = 0.5 et φ2 = −0.8

(b) Tracer leurs représentations graphiques pour t = 1, ..., 200 avec 1 x1 = 1−φ2 ε1 et y0 = y−1 = ... = 0.
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(c) Tracer leurs fonctions d’autocorrélation ρτ (d) Pour le processus AR(1): xt = φ1 xt−1 + εt avec φ1 = 0.95, on définit la série des différences premières: zt = ∆xt = xt − xt−1 . i. Tracer sa représentation graphique ii. Déterminer sa fonction d’autocorrélation ρτ iii. Tracer le graphique de ρτ

(e) Pour le processus AR(2): yt = φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + εt avec φ1 = 0.5 et φ2 = −0.8,

i. Montrer que les valeurs propres de ce système dynamique sont: λ1 (= µ1 ) = 0.25 + 0.86i et λ2 (= µ2 ) = 0.25 − 0.86i

ii. Sachant que R est le module du nombre complexe λ1 , que la fréquence des oscillations est donnée par le paramètre θ (tel que cos θ = φ1 /2R) et que la période du cycle est égale à 2π/θ, vérifier que cette période est égale à 4.9. 2

iii. Vérifier sur le graphique de la fonction d’autocorrélation cette pseudo-périodicité de 5 périodes. 3. Sachant que pour un processus AR(2): yt = φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + εt , la fonction d’autocorrélation est définie par: ρτ = (a) Montrer que: ρτ = (−φ2 ) avec tan ϕ =
Ã
τ /2

(1 − µ2 ) µτ +1 − (1 − µ2 ) µτ +1 1 2 2 1 (µ1 − µ2 ) (1 + µ1 µ2 )
à !

1 − φ2 φ tan θ et cos θ = q 1 1 + φ2