4ème – Ch. 4

Chapitre 4
Triangle, milieux et parallèles.
Voir : 5ème, chapitre 7 ; 4ème, chapitre 5.
I)
Milieux et parallèles
A) Milieux
Propriété 1 : (théorème direct)
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième (côté).
Traduction par une figure codée :
Hypothèses
A
K+

Si

Conclusion
A
K

alors

+J

B

J

B
(KJ) // (BC)

C

C

Rédaction :
• On a dans le triangle ABC, le milieu K du côté [AB] et le milieu J du côté [AC].
• Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième.
• On déduit ainsi que, la droite (KJ) est parallèle à la droite (BC).
Remarque :
Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
B) Milieu et parallèle
Propriété 2 : (théorème réciproque)
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second (côté), alors elle coupe le troisième (côté) en son milieu.
Traduction par une figure codée :
Hypothèses
A
K

Si

Conclusion
A
alors

J

+J
B

B
(KJ) // (BC)

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C

C
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4ème – Ch. 4

Rédaction :
• Dans le triangle ABC, K milieu de [AB], J ∈ [AC] et (KJ) // (BC).
• Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second, alors elle coupe le troisième en son milieu.
• Donc, J milieu de [AC].
Remarque :
Cette propriété permet de démontrer qu’un point est le milieu d’un segment.
C) Longueur
Propriété :
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Exemples :
§A) et §B) on a, KJ = BC / 2.
Remarque :
Cette propriété permet de calculer la longueur d’un segment.
D) Remarques
A
K+
B

Cette propriété est connue
« théorème des milieux ».

le

nom

de

Dans un triangle, il y a trois « droites des milieux ».

+J
+
I

sous

On dit que le triangle IJK est le « triangle des milieux » du triangle ABC.
C

II)
Parallèles et sécantes (Thalès