LYCEE PILOTE DE SOUSSE
LE

Devoir de contrôle N°1

CLASSE : 4Math

MATHEMATIQUES

DUREE : 2 heures

31 / 10 / 2009

Exercice 1
Pour chacune des questions suivantes cocher la réponse exacte

1/ lim x sin   x 0
x
 est égale à 0
 est égale à 

 n’existe pas

  x2 
2/ lim tan  2

x 
 2x  1 
 est égale à 0

 est égale à 

 est égale à 

  n sin  n 
 2 , n
3/ la suite U de terme général U n  n 1
 converge vers 1
 converge vers 0

4/ L’équation : 3x  4x 3 

1
2

 n’a pas de limite

admet dans l’intervalle [0,1]

 aucune solution

 une seule solution

 deux solutions

Exercice 2
1 2
U  2 ; n
2 n
1/ Déterminer la valeur de U 0 pour laquelle la suite U est constante.
Dans toute la suite de l’exercice on prend U0  4

Soit U la suite réelle définie sur  par : U0  

et U n 1 

2/ a- Montrer que pour tout n de  , on a : U n  2 b- Montrer que la suite U est décroissante.
3/ a- Montrer que pour tout n de  , on a : U n 1  2 

3
 U  2
4 n n 3 b- En déduire pour tout n de  , on a : U n  2  2   .
4
c- Prouver que la suite U converge vers un réel que l’on précisera.
4/ Montrer que pour tout n de  , on a : U n 

2n  3



2

n 2

. Retrouver ainsi lim Un . n 

n

5/ Soit n un entier naturel non nul, on pose Sn   kU k k 1

  3 n 

 a- Montrer que pour tout n de  , on a : 0  Sn  n n  1  6n 1     .
 4 
S
b- Calculer lim n2 n  n


Exercice 3
 
Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct  O, u, v  et m est un paramètre complexe.
 i 0
1/ a- Résoudre dans  l’équation :  Em  iz 2  1 i m 1 i z  m 1 m
 3  i 

b- On suppose que m  e  4  .
Mettre sous forme exponentielle chacune des solutions de  E m  .
2/ On considère les points A, B, M, M  et M  d’affixes respectives : zA  1, zB  i, zM  m, zM  m  i et zM  i  m  1 a- Déterminer l’ensemble des points M pour que OMM soit un triangle rectangle en O. b- Déterminer l’ensemble des