Exercice n°1 : D’après CCP PSI 2007 On notera au choix les coefficients binomiaux, pour n et p entiers tels que p ≤ n : n n! p   = Cn = p !( n − p ) !  p

Soit n un entier naturel , pour p ∈ 0, n , on note Ap = ( aij ) la matrice de M n − p +1 ( ℝ ) dont p+ − le coefficient de la ligne i et de la colonne j est aij = C p +ii+ 1j − 2 avec ( i, j ) ∈ 1, n − p + 1
2

On note d p = det ( Ap )

1. Calculer les coefficients a1,1 , a1,n − p +1 , an − p +1,1 et an − p +1,n − p +1
2. Calculer pour tout entier n les déterminants d n , d n −1 et d n − 2 3. Dans le calcul de d p , pour i variant de 2 à n-p+1 , on effectue les opérations suivantes : on retranche la ligne Li −1 à la ligne Li , i.e. : Li ← Li − Li −1 . Déterminer les coefficients d’indice ( i, j ) de la ligne obtenue. En déduire une relation entre d p et d p +1 , puis la valeur de d p On note Dn le déterminant de la matrice carrée de M n+1 ( ℝ ) dont le terme de la ligne i+1 et de la colonne j+1 est Avec les mêmes notations on définit : ∆ n = det ( Cii+ j ) 4. Calculer D0 , D1 , D2 , ∆ 0 , ∆1 et ∆ 2 5. Donner une relation entre Dn et ∆ n 6. Préciser ∆ n , puis en déduire Dn

( i + j ) ! , avec ( i, j ) ∈

0, n

2

(

)

, on notera Dn = det ( ( i + j ) !) avec ( i, j ) ∈ 0, n
2

Exercice n°2 : ( d’après une partie d’ ESIM 94 )
Préliminaires : Rappeler les formules qui donne : ch ( 2a ) et sh ( 2a ) en fonction de sh ( a ) et ch ( a ) Donner un développement à l’ordre 5 en 0 des fonctions : sh ( u ) et th ( u )

On considère une suite

accélérateur de convergence de la suite ( xn ) si et seulement si

( xn )

qui converge vers L . La suite

( yn ) définit yn − L = o ( xn − L )

un

1. On considère les suites définies par les relations suivantes pour x > 1

1 1 1 1 C0 =  x +  , S0 =  x −  x x 2 2 S S 1 + Cn , S n +1 = n et Tn = n Cn +1 Cn 2 On pose ϕ = ln x Cn +1 =
ϕ  ϕ  Montrer que pour tout entier n, on a : S n = 2n sh  n  et Tn = 2n th  n  2 