algebre

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Planche no 1. Algèbre linéaire I
* très facile

** facile *** difficulté moyenne **** difficile
I : Incontournable

***** très difficile

no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.
Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)].

no 2 (****) :

Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de Eoù E est un es


pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n /

j=i

Fj ⊂ Fi ).

no 3 (** I) : E = Kn où K est un sous-corps de C.
Soient F = {(x1 , ..., xn ) ∈ E/ x1 + ... + xn = 0} et G = Vect ((1, ..., 1)). Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Préciser leprojeté d’un vecteur x de E sur F parallèlement à G et sur G
parallèlement à F.
Techniques de démonstration d’indépendance (du no 4 au no 12).
no 4 (**) : Les familles suivantes de R4 sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quand
ces relations existent.
1) (e1 , e2 , e3 ) où e1 = (3, 0, 1, −2), e2 = (1, 5, 0, −1) et e3 = (7, 5, 2, 1).
2) (e1 , e2 , e3 , e4 )où e1 = (1, 1, 1, 1), e2 = (1, 1, 1, −1), e3 = (1, 1, −1, 1) et e4 = (1, −1, 1, 1).
3) (e1 , e2 , e3 , e4 ) où e1 = (0, 0, 1, 0), e2 = (0, 0, 0, 1), e3 = (1, 0, 0, 0) et e4 = (0, 1, 0, 0).
4) (e1 , e2 , e3 , e4 ) où e1 = (2, −1, 3, 1), e2 = (1, 1, 1, 1), e3 = (4, 1, 5, 3) et e4 = (1, −2, 2, 0).
no 5 (***) :

Montrer que (1,

√ √
2, 3) est une famille libre du Q-espace vectoriel R.

no 6(**) : Soit f(x) = ln(1 + x) pour x réel positif. Soient f1 = f, f2 = f ◦ f et f3 = f ◦ f ◦ f. Etudier la liberté de
(f1 , f2 , f3 ) dans [0, +∞[[0,+∞ [ .
no 7 (**) :
no 8 (**I) :

Soit fa (x) = |x − a| pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille (fa )a∈R .
On pose fa (x) = eax pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille de fonctions (fa )a∈R .

no 9 (**) : Montrer quetoute suite de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
Montrer que toute suite de polynômes non nuls de valuations deux à deux distinctes est libre.
no 10 (**I) : E = Rn [X]. Pour 0
de E.

k

n, on pose Pk = Xk (1 − X)n−k . Montrer que la famille (Pk )0

k n

est une base

no 11 (**I) : (Polynômes d’interpolation de Lagrange)
Soient a0 ,..., an n + 1 nombrescomplexes deux à deux distincts et b0 ,..., bn n + 1 nombres complexes.
Montrer qu’il existe une unique famille de n + 1 polynômes à coefficients complexes de degré n exactement vérifiant
∀(i, j) ∈ 0, n , Li (aj ) = 1 si i = j et 0 sinon.
Montrer que la famille (Li )0 i n est une base de Cn [X].
Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀i ∈ 0, n , P(ai ) = bi .Expliciter P
puis déterminer tous les polynômes vérifiant les égalités précédentes.
no 12 (**) :

1) Calculer pour p et q entiers naturels donnés les intégrales suivantes :






cos(px) sin(qx) dx et L(p, q) =

cos(px) cos(qx) dx, K(p, q) =

J(p, q) =
0

0

sin(px) sin(qx) dx.
0

2) Montrer que la famille de fonctions (cos(px))p∈N ∪ (sin(qx))q∈N∗ est libre.
no 13(***I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie sur K.
Démontrer que dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

1

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no 14 (**) : Soient F, G et H trois sous-espaces d’un espace vectoriel E de dimension finie sur K.
Montrer que : dim(F + G + H) dimF + dimG + dimH − dim(F ∩ G) −dim(G ∩ H) − dim(H ∩ F) + dim(F ∩ G ∩ H).
Trouver un exemple où l’inégalité est stricte.
no 15 (***) : Soient F1 , F2 ,..., Fn n sous-espaces vectoriels d’un espace E de dimension finie sur K (n 2).
Montrer que dim(F1 + ... + Fn ) dimF1 + ... + dimFn avec égalité si et seulement si la somme est directe.
no 16 (**I) :
non nulle.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n

3. Montrer que...
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