CHAPITRE 1

LA TRANSFORMEE
DE LAPLACE

Chapitre1: La transformée de Laplace

L’ESSENTIEL

DU

CHAPITRE

I. Définition de la transformée de Laplace
Soit f (t ) une fonction réelle, de la variable temps (t ) , définie pour t > 0, f (t ) = 0 pour t < 0 . La transformée de Laplace F (p) , image, de f (t ) est définie par:
F (p ) =

∫

∞

0+

e −pt f (t ).dt

(1.1)

p étant une variable complexe (p = σ + jw ) , σ, w sont des variables réelles et j 2 = −1 .
Notation: La transformée de Laplace F (p) de f (t ) est notée : F (p ) = L[ f (t )] , Inversement f (t ) = L−1[F (p)] .
La transformée de Laplace inverse f (t ) , originale, de F (p) est donnée par : σ + jw
1
f (t ) = e pt F (p).dp
∫
jw σ − j 2π

(1.2)

II. Propriétés
II.1. Linéarité
Si f (t ) = α.f1(t ) + β.f2 (t ) α et β sont des constantes arbitraires.

⇔ F (p) = α.F1(p) + β.F2 (p)

(1.3)

II.2. Dérivation
Connaissant la transformée de Laplace F (p ) = L[ f (t )] , on se propose d’exprimer la transformée de la fonction dérivée L[ f ' (t )] .
L[ f ' (t )] = pF (p) − f (0).
L[ f '' (t )] = p 2 .F (p) − p.f (0) − f ' (0)
Pour la dérivée n ième , on démontre de la même manière que :
L[ f n (t )] = p n F (p) − p n −1 f (0) − p n −2 f ' (0) − p n −3 f '' (0) − ........ − f (n −1)(0) (1.4)
II.3. Intégration t L[ ∫ f (t )] =
0

1
F (p). p (1.5)

II.4. Théorème de la valeur initiale
Si p → ∞; e −pt → 0 ⇒ L[ f ' (t )] → 0 ⇒ pF (p) − f (0) → 0 ,
D’où : f (0+ ) = lim f (t ) = lim pF (p) t →0

(1.6)

p →∞

II.5. Théorème de la valeur finale
Si p → 0; e −pt → 1 ⇒ L[ f ' (t )] →
D’où :

∞

∫0

f ' (t )dt = f (∞) − f (0)= lim[ pF (p)] − f (0) p →0

f (∞) = lim f (t ) = lim pF (p) t →∞

p →0

4

(1.7)

Chapitre1: La transformée de Laplace

II.6. Théorème du retard
Soit L[ f (t )] = F (p )

L[ f (t − τ )] = e −p.τ F (p)
Ou τ > 0 et f (t - τ ) = 0 pour t < τ

(1.8)

A retenir:
Quand une même fonction apparaît avec un