Bonjour

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  • Publié le : 14 novembre 2010
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Les vecteurs
A - Vecteurs égaux
1- Définition
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur, même direction et même sens. C'est pour cette raison qu'on représente les vecteurs par des flèches. B Les vecteurs  et  sont égaux, en effet ils ont : AB CD • même longueur : AB = CD D • même direction : (AB) // (CD) A • même sens : le sens de A vers B est le même que le sens de C vers D. CAttention L'égalité   regroupe trois informations ; il faut donc que les trois propriétés soient AB= CD vérifiées pour qu'elle ait lieu.

2- Vecteurs et milieu d'un segment
Considérons trois points A, I et B. B I A Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si   AI=IB

La propriété géométrique I est le milieu du segment [AB] et l'égalité vectorielle   sont donc AI=IBéquivalentes.

3- Vecteurs et parallélogrammes
Considérons quatre points A, B, C et D. B Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme A si et seulement si   AB= DC C D La propriété géométrique ABCD est un parallélogramme et l'égalité vectorielle   sont donc AB= DC équivalentes. Attention Il ne faut pas oublier de tenir compte du sens des vecteurs : pour le parallélogramme ABCD, l'égalité devecteurs est   et non   . AB= DC AB= CD Remarque Le parallélogramme ABCD peut aussi être nommé BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD ou BACD. Chaque façon de le nommer fournit une nouvelle égalité vectorielle; on a finalement les 4 égalités suivantes :   , BA= ,   ,  CB AB= DC  CD AD= BC DA= 
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Si l'une de ces 4 égalités est vérifiée, les 3 autres le sont aussi.

B - Somme devecteurs
On peut définir une addition des vecteurs qui a des propriétés semblables à celles de l'addition des nombres.

1- Relation de Chasles
B Quels que soient les points A, B et C :   BC AC= AB  AC AB BC Le vecteur  est la somme des vecteurs  et  .

C A

Remarque On peut interpréter la relation de Chasles de la façon suivante : le vecteur  représente un AB  représente undéplacement de B vers C ; la somme de déplacement de A vers B et le vecteur BC ces deux déplacements est un déplacement de A vers C qu'on représente par le vecteur  . AC Attention La relation de Chasles    (qui concerne des vecteurs) est vraie quels que soient les AB BC= AC points A, B et C. La relation AB + BC = AC (qui concerne des distances) n'est vérifiée que si le point B est sur le segment [AC];de manière générale on ne peut affirmer que AB + BC  AC.

2- Règle du parallélogramme
B A C D Quels que soient les points A, B, C et D : On a l'égalité    AB AD= AC si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

3- Propriétés de l'addition des vecteurs
L'addition des vecteurs a des propriétés semblables à celles de l'addition des nombres réels.
a) Suite d'additions de vecteursLorsqu'on effectue une somme de plusieurs vecteurs, on peut modifier l'ordre des termes ou regrouper plusieurs termes sans modifier le résultat.
b) Vecteur nul

Pour tout point A, le vecteur  est appelé vecteur nul; on le note  . On ne modifie pas un AA 0 vecteur en lui ajoutant le vecteur nul.
c) Vecteurs opposés

Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ilsont alors même longueur et même direction mais des sens différents.
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 Ainsi, quels que soient les points A et B, les vecteurs  et BA sont opposés. AB  On écrit : BA=−  . AB
d) Soustraction des vecteurs

Pour soustraire un vecteur il suffit d'ajouter son opposé. Quels que soient les points A, B et C,        AB− AC= AB CA= CA AB= CB

C - Multiplication d'un vecteur parun réel
1- Définition
Pour multiplier un vecteur par un nombre réel k: • on conserve la direction du vecteur • on multiplie la longueur du vecteur par |k| • si k est positif, on conserve le sens du vecteur, mais si k est négatif on le change. Exemples Sur la figure on peut constater : •   B A CD=3 AB car (CD) // (AB), CD = 3AB et le sens de C vers D est le même que le sens de A vers B. •...
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