Combinatoire et dénombrement - Spécialité Mathématiques
III - Combinatoire et dénombrement
Objectifs :
— Utiliser une représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, diagrammes) dans le cadre d’un problème de dénombrement. — Démontrer la relation n∑ k=0
(
n k )
= 2n.
— Démontrer la relation de Pascal.
1 - Vocabulaire des ensembles
Définitions :
L’intersection entre deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. On le note
A ∩B.
La réunion entre deux ensembles …afficher plus de contenu…

Le nombre de ses éléments est appelé cardinal de E et est noté Card(E) (ou parfois |E| ou #E).
Remarque : N, R ou ]0; 1[ sont dits infinis.
Exemples :
• Soit E = {n ∈ N, 21 ≤ n ≤ 108}. Alors Card(E) = 108− 21 + 1 = 88
• Soit F = {2n ∈ N, 24 ≤ 2n < 126}. Alors Card(F ) = 126−24
2 = 51
Définition : Soit E un ensemble. On note P(E) l’ensemble des parties de E, c’est-à-dire l’ensemble de ses sous- ensembles. Exemple : Soit E = {a; b; c}.
Alors P(E) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}}
Définition : Soit A un ensemble. Le complémentaire de A dans E, noté E \ A ou E − A (ou A s’il n’y a pas ambiguïté) est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A : E \A = {x ∈ E, x /∈ A}
Remarque : A ∪B = A ∩B et A ∩B = A …afficher plus de contenu…

Exemple :
A−B, B −A et A ∩B forment une partition de A ∪B.
Théorème :
Si Card(E) = n, alors Card(P(E)) = 2n.
Preuve :
Pour constituer une partie de E, il y a deux choix pour chaque élément de E : l’incorporer dans cette partie ou pas.
Puisque E possède n éléments, cela donne au total 2n parties possibles.
Illustration avec un arbre : Pour chacun des n éléments de E, on choisit de l’incorporer (1) ou non (0). Le nombre de parties de E est donc le nombre de chemins possibles dans cet arbre.
Or chacun de ces chemins correspond à une unique séquence de 0 ou de 1.
Le nombre de chemins possibles est donc le nombre de mots de longueur n sur un alphabet à deux éléments, ou encore le nombre de n-uplets de {0; 1}. Or on sait que le nombre de n-uplets d’éléments d’un ensemble à 2 éléments est