Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran.

1ère année
07 Février 2012
Durée : 2 heures (+30mn)

Épreuve d'Algèbre du

1er

semestre

Exercice 1.

1. Soit E un ensemble. Montrer que pour A et B de P (E) :
(a) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A .
(b) A ∩ B = A ∪ B ⇐⇒ B ⊂ A = B .
2. Soit la relation ∼ dans P (E) dénie par :
A ∼ B ⇐⇒ ∃X ⊂ E / X ∩ A = X ∩ B

(a) Montrer que ∼ est une relation d'équivalence.
(b) Donner les classes d'équivalence de ∅ et de E .

Exercice 2.
1. Soit la fonction f de R vers R dénie par : ∀x ∈ R, f (x) =

4x
.
+1

x2

1
(a) Montrer que ∀α = 0 : f (α) = f α .
(b) f est-elle une application ? est-elle bijective ? Pourquoi ?
2. Soit g la restriction de f sur l'intervalle I = [1, +∞[ .
(a) Montrer que ∀x ∈ I : g(x) 2.
(b) Montrer que g est une bijection de I vers l'intervalle J =]0, 2[. Trouver g −1 .
√
3. Soit l'application h de J vers J telle que : ∀x ∈ J : h(x) = 4 − x2 .
(a) Montrer que h est bijective et donner sa bijection réciproque.
(b) Dénir l'application h ◦ g .
(c) Trouver l'intervalle pour lequel l'application h ◦ g est bijective.
(d) Montrer que (h ◦ g)−1 = g −1 ◦ h−1

Exercice 3.

1. Soit (G, .) un groupe non commutatif. Pour un α de G, on note l'application : fα : G −→ G x −→ fα (x) = αxα−1

On pose G = {fα α ∈ G}.
(a) Montrer que G est un groupe pour la loi ◦ .
(b) Montrer que l'application g : α −→ fα est un morphisme de G vers
G .
2. On dénit deux lois + et × sur Z2 telles que : ∀(a1 ; b1 ), (a2 ; b2 ) ∈ Z2 :

 (a1 ; b1 ) + (a2 ; b2 ) = (a1 + a2 ; b1 + b2 )


(a1 ; b1 ) × (a2 ; b2 ) = (a1 × a2 ; b1 × b2 + a1 . b2 + a2 × b1 )

Montrer que (Z2 , + , ×) est un anneau unitaire commutatif.

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran.

1ère année
07 Février 2012
Durée : 2 heures (+30mn)

Corrigé d'examen d'Algèbre du

1er

semestre

1. (06 pts)
1. Soit E un ensemble. Montrer que pour A et B de P (E) :
(a) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A .
(b) A ∩ B = A ∪