GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Tout théorème de géométrie plane s’applique dans n’importe quel plan de l’espace. Tout le cours sera illustré d’exemples qui se rapporterons au dessin ci dessous. ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est un parallélépipède rectangle tel que HM = CI et JH = 2JI
A K E F L

G

B B N J M

I C

H

D

1. Vecteurs de l’espace
Les définitions et propriétés des vecteurs du plan s’étendent à l’espace.

!!!" Définition : à tout couple de points A et B de l’espace, on associe le vecteur AB . !!!" !!!" Lorsque A ≠ B, la direction de AB est celle de la droite (AB) , le sens de AB est le sens de A vers B et la !!!" !!!" longueur ou norme de AB , notée AB , est la distance AB .
! ! !" " " ! Remarque : On désigne souvent les vecteurs par une seule lettre, par exemple u, v , w …

! " !!! " ! " Propriété : Pour tout point O de l’espace et pour tout vecteur u , il existe un unique point A tel que OA = u .
Démonstration :

!!!" !!!" Définition et propriété : les vecteurs non nuls AB et DC sont égaux : !!!" !!!" AB et DC ont même direction, même sens et même norme. Cela revient à dire que ABCD est un parallélogramme, c'est à dire [AC] et [BD] ont même milieu .
Remarque : Si A, B, C et D sont alignés, on dit que ABCD est un parallélogramme aplati Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan. On peut donc encore utiliser la relation de Chasles, la règle du parallélogramme ou l’opposé d’un vecteur. Exercice : Simplifier les égalité suivantes : !!!" !!! " !!!" !!! " AB + BF = AD + DI = !!!" !!! " DC + DJ =

!!! !!! " " JN + JH =

!!!" !!! " DE + KL =

!!! !!! " " JN + LG = !!!" !!! !!! " " DC + DJ + DA =

On étant à l’espace la multiplication d’un vecteur par un réel. Les règles de calcul suivantes sont conservée.

! " ! " Propriété : Pour tous réels a et b, et pour tous vecteurs u et v on a : ! ! " " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! ! " " a(u + v) = au + av , (a + b)u = au