Rob 4

Ann´e 2012-2013 e

Espace d’´tat e o TP N 3
On consid`re le syst`me de bacs d’eau repr´sent´ ci-dessous. e e e e

Les variables d’´tat x1 (t), x2 (t), x3 (t) repr´sentent les ´carts par rapport ` trois niveaux de r´f´rence. e e e a ee Les d´bits d’alimentation u1 (t) et u2 (t) repr´sentent les ´carts par rapport ` des d´bits de r´f´rence. e e e a e ee Ces niveaux et d´bits de r´f´rence correspondent ` un point d’´quilibre du syst`me. On a lin´aris´ le e ee a e e e e syst`me autour de ces niveaux et d´bits de r´f´rence. On suppose que seuls les ´tats x1 (t) et x3 (t) sont e e ee e accessibles ` la mesure. a Le syst`me de bacs d’eau est mod´lis´ par la repr´sentation d’´tat suivante : e e e e e x(t) = A x(t) + B u(t) ˙ y(t) = C x(t) avec :  x1 (t) x(t) =  x2 (t)  , x3 (t)   −0.332 0.332 0 A =  0.332 −0.664 0.332  , 0 0.332 −0.524 C= 1 0 0 0 0 1  0.764 B= 0 0   0 0 , 0.764

Les hauteurs de liquide sont exprim´es en m`tres et les d´bits sont exprim´s en m3 /mn. e e e e On souhaite : • assurer un d´couplage entr´es-sorties tel que le d´bit u1 n’agisse que sur la sortie x1 et que le e e e d´bit u2 n’agisse que sur la sortie x3 . e • que la r´ponse indicielle ne pr´sente pas d’oscillations. e e • que l’erreur en r´gime permanent soit nulle pour une consigne de type ´chelon. e e • que le niveau de liquide dans le bac 1 (resp. bac 3) atteigne 95% de sa valeur en r´gime permanent e en environ 1.5 minutes (resp 6 minutes).

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Etude en boucle ouverte
1. Le syst`me en boucle ouverte est-il stable? Est-il commandable? Est-il observable? Interpr´ter e e physiquement ces r´sultats. e 2. Tracer la r´ponse libre des trois variables d’´tat ` partir de l’´tat initial x0 = e e a e −0.8 −0.5 0 0 −0.2 0
T T

.

On utilisera pour cela les commande ss, puis lsim. Montrer ` l’aide de ces trac´s que a e est un ´tat d’´quilibre stable. e e

3. D´terminer la matrice de transfert du syst`me en boucle ouverte (On pourra, pour cela, utiliser e e la